Infimum und Supremum einer Funktion f(x)

Das Infimum ist die größte untere Schranke. Wenn du z.B. die Funktion f(x) = x^2 für alle positiven Zahlen x betrachtest, dann sind alle Funktionswerte positiv. 0 ist das Infimum der Funktion, da es eine untere Schranke bildet, von allen unteren Schranken aber die größte ist. Ein Minimum für diese Funktion gibt es nicht, da es kein x0 > 0 gibt mit f(x0) <= f(x) für alle positiven x.

Ups !!! ... größte untere Schranke sollte da stehen!!!

hmmm .. wenn wir den Bereich [0,... betrachten, ist das Infimum 0 und das Minimum ebenfalls 0 für die Funktion f(x) = x^2

ich verstehe die obige Aussage für (0, ... - in diesem Fall sind nur Werte x > 0 zulässig und die Funktion
kann nicht den Wert f(x)=0 annehmen

Im Skript steht: ... das Infimum berührt gerade noch f(x), also sollte es auch ein Wert von f(x) sein - spricht man bei (0, ... trotzdem vom Infimum für f(x), obwohl der Wert 0 die Funktion f(x)=x^2 nicht berührt??

Danke und Grüße

Jürgen

Ich hab ja schon vieles im altenMatheakurs gelesen, der neue liegt mir nicht vor, aber was das Infimum nun mit der Integralrechnung zu tun haben soll erschließt sich mir gar nicht. Egal, das Infimum ist und bleibt die größte untere Schranke einer Funktion oder einer Zahlenfolge. Und selbstverständlich kann das Infimum gleich dem Funktionswert im Minimum sein. Die genannte Funktion y = x² hat als nach oben geöffnete Parabel ihr Minimum bei x = 0. und das Infimum liegt bei y = 0, also von daher sind Mimimum (x-Wert) und Infimum (y-Wert) schon unterschiedlich. Außerdem muss das Infimum kein Funktionswert sein.

Was hier nun genau gekeint ist, kann ich leider mangels Text nicht beantworten.

Etta

Das mit f(x)=x^2 für x>0 ist vielleicht nicht das glücklichste Beispiel. Wie wärs mit e^x oder 1/x^2, die beide das Infimum 0 haben und wo auch sofort klar ist, dass der Funktionswert 0 nicht angenommen wird. Unabhängig davon kann man sich auch leicht überlegen, dass die beiden Funktionen kein Minimum haben, weil man immer noch kleinere Funktionswerte erhalten kann, indem man sich in Richtung minus bzw. plus unendlich bewegt.