Integrieren-Substitution

Integrieren-Substitution

Hi,

könnt ihr mir einen tipp geben,wie man bei der substition herausfindet was man substituieren soll?

im forum hab ich diesen hinweis gefunden:

"Substitutiert wird nach dem Motto "Was stört kommt weg"."

Bsp:

Integral: 1 / (wurzel aus 4x - 1) dt

nehme ich dann t= (wurzel aus 4x - 1)
oder t= 4x - 1 ???



danke schonmal

Pseudoproll schrieb:

Hi,

könnt ihr mir einen tipp geben,wie man bei der substition herausfindet was man substituieren soll?

[...]

Integral: 1 / (wurzel aus 4x - 1) dt

Zum Vergrößern anklicken....

Du mußt immer so viel "wegsubstituieren", bis Du eine Funktion gefunden hast, die Du integrieren kannst.

In Deinem Fall kannst Du den Integranden auffassen wie

Funktion Kehrwert von (Funktion Wurzel von (Funktion Polynom von x))

Versuche nun die Struktur von innen heraus so lange zu vereinfachen, bis Du auf etwas kommst, das Du integrieren kannst.

Hier also: Zunächst das Polynom substituieren.

[tex]
\int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \int t^{-\frac 1 2} dt = 2 \sqrt t
[/tex]

Das hat schon geklappt, weil jetzt bereits das Integral auf eine Form gebracht ist, die Du integrieren kannst.

Wenn Du eine Stufe weiter gegangen wärst, also Deinen ersten Ansatz mit [tex] t = \sqrt{4 x - 1} [/tex] machst, so hättest Du das Problem, beim Rücksubstituieren von t den Ausdruck [tex] \sqrt{4 x - 1} [/tex] behandeln zu müssen...

Ehrlich gesagt versteh ich es nicht..

angenomme ich wähle t= 4x-1

-> t´= 4
-> dt= t/4

-> integral ( 1/(wurzel t) dt )

einsetzen für t
-> Integral ( 1/(wurzel t) * t/4 )

wo ist t/4 bei dir geblieben??

stünde dann vor dem problem zu kürzen mit:
1/4 integral ( t / (wurzel t) )

NBI hat sich in seiner korrekten Antwort konzentriert auf den Kern deiner Frage, nämlich ob die Substitutionsfkt. t(x) die Wurzel beinhalten soll oder nicht.

Jetzt en Detail:

t = t(x) = 4x-1[/COLOR]
dt/dx = 4
dx = dt/4

Mit dieser Substitution ergibt sich:

Integral (1/Wurzel aus (4x-1[/COLOR])) dx =
Integral (1/Wurzel aus t[/COLOR]) * (1/4) dt =
(1/4) * Integral (t hoch -(1/2)) dt =
(1/4) * (2 * t hoch (1/2)) =
(1/2) * (Wurzel aus t[/COLOR]) = [Resubstitution]
(1/2) * Wurzel aus (4x-1[/COLOR])