Ein Interface zwingt ja die Klasse, von der es implementiert wird Methoden zu implementieren.
Diese werden dann auch von deren Unterklassen geerbt. Vererbt werden ja Attribute und Methoden.
In gewissem Sinn also ja. Wenn B A erweitert und C ein B dann ist ja C nicht nur ein B, sondern auch ein A.
Ob nun alle Unterklassen auch alle Methoden des Interfaces der Mutterklasse implementieren müssen weiß ich nicht.
Probier es doch mal aus.