Kurseinheit 2 Aufgabe 23

Heihwahn schrieb:

Hallo Ihr Cracks 😉

In der Aufgabe 23 soll geprüft werden, ob V=(X1 + X2)^2 dieselbe Präferenzordnung beschreibt, wie die Nutzenfunktion U =X1^2 + X^2

Durch Einsetzen wird deutlich, dass das nicht der Fall ist.Wie aber kann ich das mathematisch nachweisen?

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Ein Gegenbeispiel ist ein Beweis, d.h. zwei Güterbündel A und B, die bzgl. V in einer anderen Präferenzbeziehung stehen als bzgl. U.

Betrachte A = (1, 3) und B = (2, 2), es gilt:

V(A) = V(1, 3) = (1 + 3)^2 = 16 und V(B) = V(2, 2) = (2 + 2)^2 = 16.

Es ist also V(A) = V(B) und damit ist A ~ B, d.h. der Haushalt ist zwischen A und B indifferent, wenn er V zugrundelegt.

U(A) = U(1, 3) = 1^2 + 3^2 = 10 und U(B) = U(2, 2) = 2^2 + 2^2 = 8.

Es ist also U(A) > U(B) und damit ist A > B, d.h. der Haushalt präferiert A vor B, wenn er U zugrundelegt.

Bezüglich V gilt A ~ B und bzgl. U gilt A > B, d.h. V und U beschreiben nicht dieselbe Präferenzordnung.

Liebe Grüße

Heihwahn schrieb:

V = (X1 + X2)^2
V = x1^2 +2*x1*x2 + x2^2 (binomische Formel)
x1^2 + x2^2 aus vorstehenden Therm ergeben U, also gilt
V= U + 2 * x1 * x2
dV nach dU = 1 + 2 x1*x2

Wenn mich nicht alles täuscht, ist der letzte Ausdruck > 0 und nach der o.g. Regel eine streng positiv monotone Transformation. Passt aber nicht!

Wer von Euch kann mir helfen?

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Deine Vorstellung von Transformation ist falsch. In U + 2 * x1 * x2 wird nicht U nach V transformiert. Transformation bedeutet, dass jeder U-Nutzenwert U(X1, X2) durch eine Funktion T (wie Transformation) in einen V-Nutzenwertert V(X1, X2) überführt werden kann. Es muss also eine Funktion T (auf Nutzenwerten) geben, so dass gilt V(X1, X2) = T(U(X1, X2)). In U + 2 * x1 * x2 ist so ein T nicht "versteckt".

Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

V(X1, X2) = X1 * X2

U = X1^1/2 * X2^1/2

Sei T(X) = X^2

Dann gilt: T(U(X1, X2)) = (X1^1/2 * X2^1/2)^2 = X1 * X2 = V(X1, X2), d.h. T ist eine Transformation von U nach V, weil jedem U-Wert durch T genau ein V-Wert zugeordnet wird.

Ist T nun zusätzlich streng monoton steigend, so bleibt bei der Transformation der U-Werte in V-Werte, die Reihenfolge der U-Werte erhalten, d.h. die Reihenfolgebeziehung (<, = , >), die für zwei Güterbündel bzgl. U gilt, gilt für diese zwei Güterbündel dann auch bzgl. V. U und V bilden dann alle Paare von Güterbündel in derselben Reihenfolge ab und damit bilden U und V dieselbe Präferenzordnung ab.

U und V bilden also dieselbe Präferenzordnung ab, wenn 1. und 2. gilt:

1. Eine Transformationsfunktion T existiert, so dass V(X1, X2) = T(U(X1, X2)) für alle (X1, X2)

2. T(X) steigt für alle X > 0 streng monoton.

Liebe Grüße