Lagrange ich brauche hilfe

thomasd22 schrieb:

hallo auch,

ich hätte große lust das Skript zu zerreissen:guckstduh. es geht um die KE 2 und die sehr dürftige erläuterung des lösungsweges des lagrange ansatzes. in mathe verstehe ich das noch mit zahlen, aber in mikro ist das so schlecht erklärt, ich verstehe den lösungsweg einfach nicht. es geht um Aufgabe 32 S.50 und Aufgabe 48 Seite 88 . die aufstellung und partiellen ableitungen ist kein problem, nur der weg zwischen den partiellen ableitungen und der Lösung wird im Skript lediglich mit einem --> kommentiert und der komplette rechenweg fehlt.
daher die Frage ob mir das jemand in worten gut erklären kann, da lagrange in fast jeder klausr der letzten jahre benötigt wurde.

vielen dank schon mal im vorraus und gruß thomas😀

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Hi Thomas,

es ist doch gut, dass du die Ableitungen der Lagrangefunktion schon hast.

Nun gibt es mehrere Möglichkeiten, entweder du löst beide Gleichungen nach lamda auf und setzt die Gleichungen gleich.
Oder du teilst die Gleichungen auf in einen Teil, der mit lamda zu tun hat und den anderen Teil:
(1) 0,8 * X1^-0,2 *x2^0,4 = 5*lamda
(2) 0,4 * X1^0,8 * x2^-0,6 = 10*lamda
nun teilst du Gleichung (1) durch Gleichung (2):
0,8 * X1^-0,2 *x2^0,4 / (0,4 * X1^0,8 * x2^-0,6 ) = 5*lamda / (10*lamda)
diese Gleichung vereinfachst du:
0,8 / 0,4 = 2,
x1^-0,2 / x1^0,8 = x1^-1,
x2^0,4 / x2^-0,6 = x2^1,
5*lamda / (10*lamda) = 1/2,
zu
2*x2/x1 = 1/2
<=> x2 / x1 = 1/4
<=> x2 = 1/4 * x1
<=> x1 = 4 * x2

durch Einsetzen in die Budgetgleichung erhälst du das gesuchte Ergebnis.

OK?

Analog bei der anderen Aufgabe.

Ich muss jetzt leider los. Sonst würde ich weitermachen.

LG luvan

Nutzenmaximierung bzw. Kostenminimierung ist doch immer dasselbe. Eine "Herleitung" mit Lagrange für diese beiden Fälle ist immer gleich und fördert nichts neues zutage als das Ergebnis, dass Grenznutzenverhältnis gleich Güterpreisverhältnis bzw. Grenzproduktivitätsverhältnis gleich Faktorpreisverhältnis ist,

also bei gegebener Nutzenfunktion U(X1, X2) und Budgetrestriktion B = P1 * X1 + P2 * X2 gilt:

(dU/dX1) / (dU/dX2) = P1/P2

bzw. bei gegebener Produktionsfunktion Q(X1, X2) und Kostenfunktion K = P1 * X1 + P2 * X2 gilt:

(dQ/dX1) / (dQ/dX2) = P1/P2

Mit dieser Gleichung beginne ich bei der Berechnung des optimalen Plans, um den "Expansionspfad", also den preisabhängigen X1-X2-Zusammenhang, zu berechnen. Die Herleitung dieser Gleichung erspare ich mir (diese Gleichung im Optimum sollte man ohnehin kennen, sie gehört sicherlich zur "Allgemeinbildung" eines Volkswirts).

Den Lagrangeansatz sollte man allerdings trotzdem kennen, weil er in der Klausur mitunter explizit erfragt wird. Zum "praktischen Rechnen" verwende ich ihn allerdings nicht (sondern ich verwende das Ergebnis).

U(X1, X2) = X1^0,8 * X2^0,4

B = 5 * X1 + 10 * X2

(dQ/dX1) / (dQ/dX2)
= (0,8 * X1^-0,2 * X2^0,4) / (0,4 * X1^0,8 * X2^-0,6)
= 2 * X2/X1
= (!) 5/10 ...// = Preisverhältnis
= P1/P2

2 * X2/X1 = 5/10 = 1/2

X2 = 1/4 * X1 (= Expansionspfad = Einkommens-Konsum-Kurve)

Liebe Grüße

Ja alles klar, dann hab ich mal wieder zu kompliziert gedacht.
vielen dank für die schnelle und aufschlussreiche hilfe.
mal gerade ne Frage an chrissi. was heißt, du verwendest das ergebnis??

thomasd22 schrieb:

mal gerade ne Frage an chrissi. was heißt, du verwendest das ergebnis??

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Dass im Nutzenmaximum gilt: (dU/dX1) / (dU/dX2) = P1/P2 ist das Ergebnis des Lagrangeansatzes für die Maximierung der Nutzenfunktion (Zielfunktion) unter Beachtung der Budgetrestriktion (Nebenbedingung).

Zielfunktion: U(X1, X2) -> max
Nebenbedingung: B = P1 * X1 + P2 * X2

Das ergibt die Lagrangefunktion:

L(X1, X2, c) = U(X1, X2) + c * (B - P1 * X1 - P2 * X2)

Ableitungen 0 setzen:

dL/dX1 = dU/dX1 - c * P1 = 0 d.h. c = (dU/dX1) / P1

dL/dX2 = dU/dX2 - c * P2 = 0 d.h. c = (dU/dX2) / P2

c = (dU/dX1) / P1 = (dU/dX2) / P2

Ergebnis: Im Maximum gilt (dU/dX1) / (dU/dX2) = P1 / P2

Dieses Gleichung verwende ich stets direkt an, ohne sie jedesmal wieder aufs neue (mit den konkreten Werten) herzuleiten, z.B. bei der Berechnung des optimalen Konsumplans (so wie ich es oben gemacht habe).

Beispiel: KE 2 Seite 88 Aufgabe 48

U = X1 * X2

B = P1 * X1 + P2 * x2

Im Nutzenmaximum gilt:

(dU/dX1) / (dU/dX2) = X2/X1 = P1/P2

Daraus folgt:

(1) X2 = P1/P2 * X1

(2) X1 = P2/P1 * X2

In die Bugetrestriktion eingesetzt:

B
= P1 * X1 + P2 * X2
= P1 * X1 + P2 * P1/P2 * X1 ...// wegen (1)
= 2 * P1 * X1

Also: X1 = 1/2 * B/P1

Und

B
= P1 * X1 + P2 * X2
= P1 * P2/P1 * X2 + P2 * X2 ...// wegen (2)
= 2 * P2 * X2

Also: X2 = 1/2 * B/P2

Ergebnis: Das optimale Güterbündel ist X1 = 1/2 * B/P1, X2 = 1/2 * B/P2

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

Dass im Nutzenmaximum gilt: (dU/dX1) / (dU/dX2) = P1/P2 ist das Ergebnis des Lagrangeansatzes für die Maximierung der Nutzenfunktion (Zielfunktion) unter Beachtung der Budgetrestriktion (Nebenbedingung).

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Ja genau deshalb braucht man auch kein Lagrange. Es reicht, wenn Du die Ableitung der Nebenbedingung nach x1 / Ableitung der Nebenbedingung nach x2 = Ableitung der Zielfunktion nach x1 / Ableitung der Zielfunktion nach x2
So kannst Du Dir Rechenfehler ersparen und es geht wesentlich schneller.

Shila schrieb:

Ja genau deshalb braucht man auch kein Lagrange.

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Exakt! Bei anderen wichtigen Formel geht man ja genauso vor. Beispielsweise kommt keiner auf die Idee eine quadratischen Gleichung zu lösen, in dem die Instanz der "Mitternachtsformel" für die konkrete zu lösende Gleichung hergeleitet wird, sondern man wendet schlicht die Mitternachtsformel auf die Gleichung an. Die Herleitung der Mitternachtsformel trägt ebenso zum Verständnis bei, ist jedoch eine "andere Baustelle" als deren Anwendung bei der Lösung einer konkreten Gleichung. Die Formel ist hier die Abstraktion, quasi die Quintessenz, die hilft, Fehler zu vermeiden. Das gilt natürlich nur für wenige wichtige Formeln, die man sowieso kennen sollte (s.o. "Allgemeinbildung"). Im gewöhnlichen "Formelmeer" oder besser "Termemeer", sollte man allerdings durch herleiten/umstellen schwimmen und nicht durch auswendig lernen (auch wieder um Fehler zu vermeiden, hier allerdings "Formelanwendungsgfehler").

Liebe Grüße

Vielen dank. ich brauche die erklärung manchmal in worten, dann kappier ich das viel schneller als aus dem skript. dank der erläuterung kann ich jetzt endlci auch diese aufgaben aus alten klausuren beantworten. daaaaaaaaaaaaaaanke!!!!!!!!

ich habe auch nochmal eine Frage und dazu nichts im Forum gefunden. Manchmal ist ja danach gefragt ob die Lagrange-Funktion richtig aufgestellt ist. Was sind denn nun alle Möglichkeiten?

Wenn Nutzenfunktion und Nebenbedingung B=P1X1+P2X2:

Nutzenfunktion + Lamda (B-P1X1-P2X2)
Nutzenfunktion - Lamda (P1X1+P2X2-B)

und weiter?

Was meinst Du mit weiter? Du hast zwei Varianten des Ansatzes ja hingeschrieben. Weil das Vorzeichen vor Lambda keine Rolle spielt sind folgende Ansätze ebenfalls korrekt:

Nutzenfunktion - Lamda (B-P1X1-P2X2)
Nutzenfunktion + Lamda (P1X1+P2X2-B)

Es gibt also vier äquivalente Ansätze.

Liebe Grüße

Kann mir bitte jemand weiterhelfen, cih bin kurz vor der Verzweiflung.
In der Aufgabe 6d) (Teil 2.2 Produktion - BWL Klausurenbuch) werden die notwendigen Bedingungen herausgearbeitet. Wie kommt man auf die Ableitungen??