• "Studienservice.de, eine Seite von und für Fernstudenten der FernUni Hagen, ersetzt den Smalltalk in der Mensa" Handelsblatt Karriere

lineare Abhängigkeit

C

cordon

Unser Sponsor SAP 4 Students
fange gerade mit Wirtschaftsmathematik an und habe direkt zu Beginn Fragen:

Wenn ich aus zwei Vektoren einen dritten (vom Nullvektor verschiedenen) nicht kombinieren kann sind sie dann auch l.u.?

Im R2 kann ich mit zwei l.u. Vektoren eine Basis bilden und mit dieser Basis alle anderen Vektoren darstellen. Widerspricht es sich dann nicht das die beiden l.u. Vektoren nur trivial zum Nullvektor kombiniert werden können?
 
cordon schrieb:
Wenn ich aus zwei Vektoren einen dritten (vom Nullvektor verschiedenen) nicht kombinieren kann sind sie dann auch l.u.?
Zum Vergrößern anklicken....

:hmmm: In diesem Falle sind alle drei Vektoren l.u. (denn das was Du beschreibst, ist ja gerade die Definition linearer Unabhängigkeit: die Vektoren sind keine Vielfachen voneinander – Vorsicht: diese Definition ist ein bisschen gefährlich, denn sie verleitet dazu, die lineare Unabhängigkeit mit dem Auge zu prüfen: das geht aber bei mehr als zwei Vektoren nicht!). Im IR^2 kann diese Situation also nicht vorkommen. Du hast maximal nur so viele l.u. Vektoren wie der Raum Dimensionen hat. Wenn Du im IR^2 drei Vektoren hast, sind die also stets linear abhängig.

Damit hat sich glaub ich auch Deine zweite Frage erledigt:

cordon schrieb:
Im R2 kann ich mit zwei l.u. Vektoren eine Basis bilden und mit dieser Basis alle anderen Vektoren darstellen. Widerspricht es sich dann nicht das die beiden l.u. Vektoren nur trivial zum Nullvektor kombiniert werden können?
Zum Vergrößern anklicken....

Wenn Du im IR^2 zwei l.u. Vektoren hast, sind die automatisch (!) eine Basis. Und aus den Vektoren einer Basis kannst Du immer alle anderen Vektoren des Raumes dieser Dimension linear zusammenkombinieren.
 
cordon schrieb:
Wenn ich aus zwei Vektoren einen dritten (vom Nullvektor verschiedenen) nicht kombinieren kann sind sie dann auch l.u.?
Zum Vergrößern anklicken....

Diese Folgerung gilt nicht allgemein.

2 Beispiele (im 1. Fall gilt die Folgerung nicht, im 2. Fall gilt sie):

a) 1. Vektor = (1,0,0), 2. Vektor = (-2,0,0), 3. Vektor = (0,0,5).
der 3. lässt sich nicht aus den beiden ersten kombinieren. Alle 3 sind l.a.
b) 1. Vektor = (1,0,0), 2. Vektor = (1,1,0), 3. Vektor = (1,1,1).
der 3. lässt sicht nicht aus den beiden ersten kombinieren. Alle 3 sind l.u.
 
Vielen Dank schon mal, komme langsam dahinter. Aber noch einr weitere Frage:

Ich sollte also aus 2 l.u. Vektoren jeden anderen Vektor in IR^2 kombinieren können. Also müsste z.B. (0,2)T und (2,0)T in der Art

a1*0+a2*2=-17
a1*2+a2*0= 11

aufzulösen, also zu z.B. (-17,11)T kombinierbar sein?
 
Noch eine Frage hinterher:

im IR^2 liegen l.a. Vektoren parallel zueinander oder auf einer Geraden, im IR^3 auf einer Ebene (sofern ich das soweit richtig nachvollzogen habe). Wie kann ich nun feststellen ob 3 l.a. Vektoren auf einer Ebene liegen? In der grafischen Darstellung ist es ja nicht immer einwandfrei zu erkennen?
 
Oben