Linearfaktorzerlegung einer gebrochen-rationalen Funktion

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@pple

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Dr Franke Ghostwriter
Linearfaktorzerlegung einer gebrochen-rationalen Funktion

Bisher habe ich die Linearfaktorzerlegung (Polynomdivision) zur Nullstellenbestimmung für Funktionen n-ten Grades mit n>2 genutzt.
Wobei der Term des "Teilers" dann kleiner war als die Funktion.

Wenn ich die LFZ für die Funktion y=(x^2-9)/(x^2-7x+10) bestimmen soll,
dann bedeutet das (x^2-9) : (x^2-7x+10) oder?
Die Tatsache, dass der zweite Term größer als der erste ist, bereitet mir Kopfzerbrechen. Kann ich den ersten Term "strecken", indem ich für x einfach eine Lücke lasse, so wie beim Berechnen von LGS?

Ich habe es auch mit Faktorzerlegung im Zähler und im Nenner versucht, um vielleicht etwas rauskürzen zu können. Für den Zähler erhalte ich aber (x+3)*(x-3) und für den Nenner (x-2)*(x-5)... da ist nichts zum Kürzen
 
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Also die Aufgabenstellung lautet einfach nur, man solle die Linearfaktorzerlegung der Funktion ermitteln.

Linearfaktorzerlegung heißt doch Polynomdivision, oder?
Da nur das passieren soll, also keine Nullstellen ermitteln etc. verstehe ich nicht ganz, was die da sehen wollen.
 
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Salsero schrieb:
Also wenn es nur um das geht
brauchst du natürlich noch keine Polynomdivision,
allerdings ist sie zur ermittlung der "schiefen (bzw.
waagrechten) " Asymptote hilfreich.

Vielleicht könntest Du bitte auf die schiefe Asymptote näher eingehen, habe dazu auch einen Thread verfasst.

Zur Aufgabenstellung Faktorisiere:

( x^2-9 ) / (x^2-7x+10) = (x-3) (x+3) / ((x-2)(x-5)

Schau Dir bitte mal den dritten Absatz meiner Eingangsfrage an, also habe
ich die Aufgabe damit schon gelöst? Wozu wird so eine Aufgabe gestellt?
Ich muss dazu sagen, es handelt sich dabei um den dritten Teil der Aufgabe.
a) Lautet: Welche Nullstellen besitzt das Nennerpolynom? b) Was lässt sich
aus a) ableiten. Also habe ich die Nullstellen vom unteren Term ermittelt und festgestellt, dass es sich um Polstellen handelt. Soll vielleicht geprüft werden, ob man erkennt, dass sich mit c) alles in einem Abwasch machen lässt?

im Zähler dritte Binomische Formel
im Nenner Vieta oder Lösungsformel
da die linear Faktoren im Zähler und Nenner unkürzbar
sind, hast du als "einfache" Nullstellen 3 ; -3
als "Unendlichkeitsstellen oder "Polstellen"
oder senkrechte Asymptoten bei x = -2 ; x = -5

durch die bereits durchgeführte Polynomdivision
ergibt sich eine waagrechte Asymptote y = 1
und dies ist auch der Wert gegen +/- unendlich.

Du meinst das Ergebnis 1+ der Rest (7x-19), der unten nach der Division stehen bleibt?
(Der Term (7x-19) wird unendlich klein, oder?)
Besteht dieser Zusammenhang (Ergebnis der Polynomdivision und Grenzwert) immer oder ergibt sich hier nur zufällig der gleiche Wert?

Der Graph verläuft also im 1. Quadranten oberhalb der waagrechten
und rechts der senkrechten x=5 Asymptoten,
im 2. und 3. Quadranten unterhalb der waagrechten und links
der senkrechten x = 2, zwischen den beiden senkrechten
polt er jeweils um und läuft durch die Nullstelle x=3.

Das siehst Du nur an den ermittelten Werten, ohne die Funktion zu zeichnen??? Besonders die Sache mit dem Umpolen kann ich aus den vorliegenden Daten nicht erkennen, ohne die Fkt. zu zeichnen.
Übrigens ist mir bei der Stammfunktion des zweiten Verfahrens
ein kleiner Fehler unterlaufen, dort müßte man erst noch ein
Substitutionsverfahren anhängen.

Nach der ersten Methode bekomme ich:
(x^2 - 9) / (x^2-7x+10) = 1 + (16/39) / (x-5) + (5/3) / (x-2)
dementsprechend ist die Stammfunktion
F(x) = x + 16/3 ln(x-5) + 5/3 ln (x-2)
Zum Vergrößern anklicken....

Vielen Dank für deine Hilfe!! :bussi
 
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