Lösung Politikmultiplikatoreffekt aus Skript und Übungsheft

genauer gesagt Makro 2 Kurseinheit 1 auf der Seite 26. wie komme ich vernünftig auf die vorgegebene Determinante? und anschließend noch auf die endgültige Lösung.

Vielen Dank nochmals für jegliche Hilfe!

Erst mal alles differenzieren
1: [tex]dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_y^adY^a + NX_qdq[/tex]
2: [tex]dM = LdP + PL_ydY + PL_idi [/tex]
3: [tex]NXdP + PNX_ydY + PNX_y^adY^a + PNXqdq = NKA_{i-i^a}di[/tex]

Was schon in der Fussnote steht: [tex] P=P^a und beide konstant, daher dP = 0 und q=e (und daher auch dq = de) [/tex]
Was hilfreich gewesen wäre: die Ausländer interessieren uns hier nicht [tex] di^a = dY^a = 0 [/tex]

Dann bleiben noch dY | di | dq "für links" und dG | dM "für rechts" 🙂
Umstellen, Determinante bilden, ausklammern, dann kommt das raus, was bei (2.22) im Kurstext steht.
Hilft das? Sonst mach' ich später den Rest noch vor.

Petrucchio schrieb:

Hilft das? Sonst mach' ich später den Rest noch vor.

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sorry für die leicht fehlgeschlagene Formatierung. Irgendwie darf ich aber derzeit meine eigenen Beiträge nicht editieren. Ist mir schon an anderer Stelle aufgefallen. Hoffentlich ist es trotzdem brauchbar.

vielen Dank erstmal für deinen ersten Beitrag, könntest Du evtl doch noch die genaue Herleitung reinschreiben, wäre super.

Mein Gleichungssystem sieht dann wie folgt aus:

dY * (C[Y] + NX[Y] - 1) + I * di + NX[q] * dq = -dG
dY * P * L[Y] + P * L * di + L * dP = dM
P * NX[Y] * dY - NKA [i-ia] * di + P * NX * dq = 0

Allerdings komme ich auch nicht auf die angegebene Determinante...

A: Also, zunächst nochmal das neue Gleichungssystem, nach Differenzierung:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_y^adY^a + NX_qdq[/tex]
[tex] 2: dM = LdP + PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: NXdP + PNX_ydY + PNX_y^adY^a + PNX_qdq = NKA_{i-i^a}di - NKA_{i-i^a}di^a[/tex]

Wir haben laut Fussnote ein konstantes Preisniveau, somit gilt: [tex]dq = de[/tex]. Ausserdem ist dadurch [tex]dP = 0[/tex].
Das Ausland ist nicht interessant, daher gilt auch [tex]di^a = dY^a = 0[/tex].

B: Wenn du das auf das System anwendest sieht das so aus:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_y^adY^a + NX_qdq[/tex]
[tex] 2: dM = LdP + PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: NXdP + PNX_ydY + PNX_y^adY^a + PNXqdq = NKA_{i-i^a}di - NKA_{i-i^a}di^a[/tex]

C: Es bleibt:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_qde[/tex]
[tex] 2: dM = PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: PNX_ydY + PNXqde = NKA_{i-i^a}di [/tex]

D: Umstellen für die Matrix (Ursachen rechts, Wirkungen links):
[tex] 1: dY - C_ydY - I_idi - NX_ydY - NX_qde = dG[tex]
[tex] 2: PL_ydY + PL_idi = dM[/tex]
[tex] 3: PNX_ydY - NKA_{i-i^a}di + PNX_qde = 0[/tex]

E: Aufräumen (alle dY, di, de zusammen...) und ggfs. ausklammern:
[tex] 1: (1 - C_y - NX_y) *dY - I_i *di - NX_q *de = dG[tex]
[tex] 2: PL_y *dY + PL_i *di = dM[/tex]
[tex] 3: PNX_y *dY - NKA_{i-i^a} *di + PNX_q *de = 0[/tex]

F: Matrixschreibweise (bin schon gespannt, wie das nachher auf dem Schirm aussieht...):
[tex] \begin{pmatrix} (1-C_y-NX_y) & -I_i & -NX_q \\ PL_y & PL_i & 0 \\ PNX_y & -NKA_{i-i^a} & PNX_q \end{pmatrix} [/tex]

G: Determinante rechnen:
[tex] ((1 - C_y - NX_y)*PL_i*PNX_q) + (0) + (-NX_q*PL_y*(-NKA_{i-i^a})) - (PNX_y*PL_i*(-NX_q)) - (0) - (PNX_q*PL_y*(- I_i))[/tex]
[tex] = [/tex]

H: Das überall vorhandene [tex]PNX_q[/tex] rausziehen (und Nullen raus...)
[tex] = PNX_q * [(1 - C_y - NX_y)*PL_i) + (-L_y*(-NKA_{i-i^a})) - (NX_y*PL_i*(-1)) - (PL_y*(- I_i))[/tex]

I: Die beiden markierten Teile lassen sich wunderhübsch rauskürzen... feddich!

Das waren jetzt Einzelschritte. "in echt" fasst man natürlich mehrere Schritte zu einem zusammen. Ich fange meistens erst mit (C) an, (D)+(E)+(F) sind bei mir meistens ein Schritt.
Ich sehe bei (G) immer in den vorgeschlagenen Lösungen nach, weil ich dann meistens schon sehe, *was* die gern ausgeklammert oder aufmultipliziert hätten. Mal ist ja ein [tex] {Y_N}^2 [/tex] auszuklammern, mal nicht, usw...

Hoffe, das hilft.

Au weia! Farben mag Tex nicht so wie ich...
Hier nochmal ohne die Farben... kann mir bitte jemand den obigen Beitrag löschen oder sowas??


A: Also, zunächst nochmal das neue Gleichungssystem, nach Differenzierung:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_y^adY^a + NX_qdq[/tex]
[tex] 2: dM = LdP + PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: NXdP + PNX_ydY + PNX_y^adY^a + PNX_qdq = NKA_{i-i^a}di - NKA_{i-i^a}di^a[/tex]

Wir haben laut Fussnote ein konstantes Preisniveau, somit gilt: [tex]dq=de[/tex]. Ausserdem ist dadurch [tex]dP = 0[/tex].
Das Ausland ist nicht interessant, daher gilt auch [tex]di^a = dY^a = 0[/tex].

B: Wenn du das auf das System anwendest sieht das so aus:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_y^adY^a + NX_qdq[/tex]
[tex] 2: dM = LdP + PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: NXdP + PNX_ydY + PNX_y^adY^a + PNXqdq = NKA_{i-i^a}di - NKA_{i-i^a}di^a[/tex]

C: Es bleibt:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_qde[/tex]
[tex] 2: dM = PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: PNX_ydY + PNXqde = NKA_{i-i^a}di [/tex]

D: Umstellen für die Matrix (Ursachen rechts, Wirkungen links):
[tex] 1: dY - C_ydY - I_idi - NX_ydY - NX_qde = dG[tex]
[tex] 2: PL_ydY + PL_idi = dM[/tex]
[tex] 3: PNX_ydY - NKA_{i-i^a}di + PNX_qde = 0[/tex]

E: Aufräumen (alle dY, di, de zusammen...) und ggfs. ausklammern:
[tex] 1: (1 - C_y - NX_y) *dY - I_i *di - NX_q *de = dG[tex]
[tex] 2: PL_y *dY + PL_i *di = dM[/tex]
[tex] 3: PNX_y *dY - NKA_{i-i^a} *di + PNX_q *de = 0[/tex]

F: Matrixschreibweise (bin schon gespannt, wie das nachher auf dem Schirm aussieht...):
[tex] \begin{pmatrix} (1-C_y-NX_y) & -I_i & -NX_q \\ PL_y & PL_i & 0 \\ PNX_y & -NKA_{i-i^a} & PNX_q \end{pmatrix} [/tex]

G: Determinante rechnen:
[tex] ((1 - C_y - NX_y)*PL_i*PNX_q) + (0) + (-NX_q*PL_y*(-NKA_{i-i^a})) - (PNX_y*PL_i*(-NX_q)) - (0) - (PNX_q*PL_y*(- I_i))[/tex]
[tex] = [/tex]

H: Das überall vorhandene [tex]PNX_q[/tex] rausziehen (und Nullen raus...)
[tex] = PNX_q * [(1 - C_y - NX_y)*PL_i) + (-L_y*(-NKA_{i-i^a})) - (NX_y*PL_i*(-1)) - (PL_y*(- I_i))[/tex]

I: Die beiden markierten Teile lassen sich wunderhübsch rauskürzen... feddich!

Das waren jetzt Einzelschritte. "in echt" fasst man natürlich mehrere Schritte zu einem zusammen. Ich fange meistens erst mit (C) an, (D)+(E)+(F) sind bei mir meistens ein Schritt.
Ich sehe bei (G) immer in den vorgeschlagenen Lösungen nach, weil ich dann meistens schon sehe, *was* die gern ausgeklammert oder aufmultipliziert hätten. Mal ist ja ein [tex] {Y_N}^2 [/tex] auszuklammern, mal nicht, usw...

Hoffe, das hilft.

Okay... letzter Versuch... Nie wieder Tex ohne Vorschau...

A: Also, zunächst nochmal das neue Gleichungssystem, nach Differenzierung:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_y^adY^a + NX_qdq[/tex]
[tex] 2: dM = LdP + PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: NXdP + PNX_ydY + PNX_y^adY^a + PNX_qdq = NKA_{i-i^a}di - NKA_{i-i^a}di^a[/tex]

Wir haben laut Fussnote ein konstantes Preisniveau, somit gilt: [tex]dq = de[/tex]. Ausserdem ist dadurch [tex]dP = 0[/tex].
Das Ausland ist nicht interessant, daher gilt auch [tex]di^a = dY^a = 0[/tex].

B: Wenn du das auf das System anwendest sieht das so aus:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_y^adY^a + NX_qdq[/tex]
[tex] 2: dM = LdP + PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: NXdP + PNX_ydY + PNX_y^adY^a + PNXqdq = NKA_{i-i^a}di - NKA_{i-i^a}di^a[/tex]

C: Es bleibt:
[tex] 1: dY = C_ydY + I_idi + dG + NX_ydY + NX_qde[/tex]
[tex] 2: dM = PL_ydY + PL_idi [/tex]
[tex] 3: PNX_ydY + PNXqde = NKA_{i-i^a}di [/tex]

D: Umstellen für die Matrix (Ursachen rechts, Wirkungen links):
[tex] 1: dY - C_ydY - I_idi - NX_ydY - NX_qde = dG[/tex]
[tex] 2: PL_ydY + PL_idi = dM[/tex]
[tex] 3: PNX_ydY - NKA_{i-i^a}di + PNX_qde = 0[/tex]

E: Aufräumen (alle dY, di, de zusammen...) und ggfs. ausklammern:
[tex] 1: (1 - C_y - NX_y) *dY - I_i *di - NX_q *de = dG[/tex]
[tex] 2: PL_y *dY + PL_i *di = dM[/tex]
[tex] 3: PNX_y *dY - NKA_{i-i^a} *di + PNX_q *de = 0[/tex]

F: Matrixschreibweise (bin schon gespannt, wie das nachher auf dem Schirm aussieht...):
[tex] \begin{pmatrix} (1-C_y-NX_y) & -I_i & -NX_q \\ PL_y & PL_i & 0 \\ PNX_y & -NKA_{i-i^a} & PNX_q \end{pmatrix} [/tex]

G: Determinante rechnen:
[tex] ((1 - C_y - NX_y)*PL_i*PNX_q) + (0) + (-NX_q*PL_y*(-NKA_{i-i^a})) - (PNX_y*PL_i*(-NX_q)) - (0) - (PNX_q*PL_y*(- I_i))[/tex]

H: Das überall vorhandene [tex] PNX_q [/tex] rausziehen (und Nullen raus...)
[tex] PNX_q * ((1 - C_y - NX_y)*PL_i) + ((-1)*L_y*(-NKA_{i-i^a})) - (NX_y*PL_i*(-1)) - (PL_y*(- I_i))[/tex]

I: Die überall vorhandenen [tex] NX_y*PL_i [/tex] lassen sich wunderhübsch rauskürzen... feddich!

Das waren jetzt Einzelschritte. "in echt" fasst man natürlich mehrere Schritte zu einem zusammen. Ich fange meistens erst mit (C) an, (D)+(E)+(F) sind bei mir meistens ein Schritt.
Ich sehe bei (G) immer in den vorgeschlagenen Lösungen nach, weil ich dann meistens schon sehe, *was* die gern ausgeklammert oder aufmultipliziert hätten. Mal ist ja ein auszuklammern, mal nicht, usw...

Hoffe, das hilft.

Tex und ich werden keine Freunde...
Das untere Element ganz rechts in der Matrix ist auf jeden Fall ein
[tex] PNX_q [/tex]

So steht's auch im Text; das kleine q ist weg, dafür ist eine geschweifte Klammer mittendrin.
Nächstes Mal wieder klassisch PNX[q] anstatt [tex] PNX_q [/tex]

hias schrieb:

Mein Gleichungssystem sieht dann wie folgt aus:

dY * (C[Y] + NX[Y] - 1) + I * di + NX[q] * dq = -dG
dY * P * L[Y] + P * L * di + L * dP = dM
P * NX[Y] * dY - NKA [i-ia] * di + P * NX * dq = 0

Allerdings komme ich auch nicht auf die angegebene Determinante...

Zum Vergrößern anklicken....

Multipliziere mal Gleichung 1 mit (-1), damit "dG" schön trocken ist.
Aus deiner zweiten Gleichung kannst du dann das "dP" auch weglassen, da Preisniveau konstant, also "+ 0" anstatt "+L*dP".
Geht's dann besser?

Also deine Lösung, Petrucchio, kann ich gut nachvollziehen, die habe ich auch raus.

Im Skript ist als Determinante (2.22) angegeben:

det = P * NXq [(1-Cy) * Li * P + Ly (NKAi-ia + P * Ii)]

Meine Determinante war

det = P * NXq [(1 - NXy - Cy) * P * Li + Ly * NKAi-ia + P * NXy * Li + P * Ly * Ii]

... und jetzt hab ich auch meinen Fehler gefunden: -NXy * P * Li + NXy* P * Li kürzt sich raus,
und dann komm ich auch auf die Lösung...

Vielen Dank für deine ausführliche Darstellung!