Mathekenntnisse für Prod.funkt.

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Regina Rosa

Dr Franke Ghostwriter
zur Berechnung der Prod.funkt. sind viele Mathekenntnisse erforderlich. Für ReWissenschaftler keine Selbstverständlichkeit 🙄

ich möchte gerne ein paar C/D Funktionen einstellen (selbstgewählte), für die ich die Grenzproduktivitäten (zur Bestimmung der Minimalkostenkombination) berechnen wollte - aber schon nicht weiß wie ich die Prod.funkt. auflöse:

x = 2 * r1˄0,4 und r2˄06
GPr1/GPr2 =
0,8r1˄0,6 * r2˄0,6 / 2r1˄0,4 * 0,6r2˄0,4
-> wie geht's hier im Kürzen weiter?

x= 8 * r1 * 0,5 * r2
-> habe ich lösen können: GP = 4r2 / 4r1 = r2/r1

x= r1˄1/4 * r2˄3/4
GPr1/GPr2 =
1/4(r2/r1)˄3/4 / 3/4 (r1/r2)˄1/4
-> wie geht's hier im Kürzen weiter?

x=r1˄1/2 * rx˄1/2
GPr1/GPr2 =
0,5r1˄-0,5 * r2˄0,5 / 0,5r2˄-0,5 * r1˄0,5 = 0,5r2˄0,5 * r2˄0,5 / 0,5r1˄0,5 * r1˄0,5 = 0,5r2 / 0,5r1
stimmt der Rechenvorgang?

x= 1r1˄1/3 * r2˄2/3
GPr1/GPr2 =
5(r2/r1)˄2/3 / 15*2/3(r1/r2)˄1/3
-> wie geht's hier im Kürzen weiter?

ich freue mich sehr über Hinweise aus der Mathekennerszene 🙂
Wenn ihr mir auch sagt, welches Mathe-Gesetz hier anzuwenden ist wäre das super.
 
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Regina Rosa schrieb:
Wenn ihr mir auch sagt, welches Mathe-Gesetz hier anzuwenden ist wäre das super. Vielen Dank
Zum Vergrößern anklicken....
Hier werden Potenzgesetze (Rechnen mit Potenzen) angewendet - Schulmathematik aus der Mittelstufe: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze

Es gilt beispielsweise: c * r^a / (d * r^b) = (c/d) * r^(a-b)

Deshalb:

0,8r1˄0,6 * r2˄0,6 / 2r1˄0,4 * 0,6r2˄0,4
= (0,8r1˄0,6 / 2r1˄0,4) * (r2˄0,6 / 0,6r2˄0,4)
= (0,8/2) * r1^(0,6-0,4) * (1/0,6) * r2^(0,6-0,4)
= 0,4 * r1^0,2 * (1/0,6) * r2^0,2
= 2/3 * r1^0,2 * r2^0,2

1/4(r2/r1)˄3/4 / 3/4 (r1/r2)˄1/4
= 1/4(r1/2)^-3/4 / 3/4 * (r1/r2)˄1/4
= (1/4) / (3/4) * (r1/r2)^(-3/4-1/4)
= 1/3 * (r1/2)^-1
= 1/3 * r2/r1

5(r2/r1)˄2/3 / 15*2/3(r1/r2)˄1/3
= 5(r1/r2)˄-2/3 / 15*2/3(r1/r2)˄1/3
= 5/(15*2/3) * (r1/r2)^(-2/3-1/3)
= 1/2 * (r1/r2)^-1
= 1/2 * r2/r1

Liebe Grüße
 
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Habe mir das Kapitel über die C/D Funktionen nochmals durchgelesen, komm aber leider nicht drauf, worum es dabei genau geht. Warum ist bei der Übungsaufgabe 2, S. 58 nur die 2. vom C/D Typ ? Was sind die Merkmale ?

@Regina: ich kann dein 2. und 4. Bsp nachvollziehen. (beim 4. kannst du noch jeweils die 0,5 wegkürzen, dann bleibt wieder r2/r1 übrig)

Doch wie kommst du bei den anderen Bsp jeweils auf die Zeile GPr1/GPr2 ? Ich wollte nach "wardans" Lösungsweg vom 10. Juli vorgehen "Ableitung r1 geteilt durch Ableitung r2", aber da käme ich dann auf:

1. Bsp.: GPr1/GPr2 =0,8r1˄-0,4 * r2˄0,6 / 2r1˄0,4 * 0,6r2˄-0,6
3. Bsp.: GPr1/GPr2 =1/4r1˄-1/4 * r2^3/4 / r1^1/4 * 3/4 r2˄-3/4
5. Bsp.: GPr1/GPr2 =1/3 r1^-1/3 * r2^2/3 / r1^1/3 * r2^-2/3

Was machst du hier anders ? Wo ist mein Denkfehler ?
 
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Bei den C/D Funktionen kannst Du die Exponenten immer zu eins zusammen addieren.

Du hast bei den drei Beispielen einen Fehler drin. Im Nenner muss es heißen 2r1hoch 0,4 * 0,6r2 hoch -0,4. Wenn Du ableitest musst Du von dem Exponenten immer eins abziehen.
 
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Danke ! Der Fehler beim Ableiten ist mir jetzt klar ... wirklich dumm wenn man nicht korrekt "minus 1" rechnen kann ... 🙁

Bei Bsp 3 und 5 komme ich sogar auf die Lösung von Chrissi, wenn ich das Ganze als Doppelbruch aufschreibe und dann mit den Kehrwerten auflöse.

Aber wie funktioniert das Kürzen bei Bsp 1
x = 2 * r1˄0,4 und r2˄06
GPr1/GPr2 =
0,8r1˄-0,6 * r2˄0,6 / 2r1˄0,4 * 0,6r2˄-0,4

Könntest du mir da bitte noch den Rechenweg aufschreiben ?
 
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2*r1 hoch 0,4 * r2hoch 0,6 -> 2*0,4+r1hoch-0,6 * r2hoch 0,6 / 2 *r1hoch 0,4*0,6* r2hoch -0,4 -> 0,8r2 / 1,2r1
Dann wird r2 ermittelt: r2=3/2*r1

Schreib es Dir am besten wieder auf Papier auf, da kann man es leicht nachvollziehen.
Wenn Du noch Hilfe brauchst einfach schreiben, eine Antwort wird aber erst heute Abend bei mir.
 
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Ach richtig ! Danke !!!
Zähler: 2*0,4 r1hoch-0,6 * r2hoch 0,6
Nenner: 2*0,6 r1hoch 0,4** r2hoch -0,4

Wenn man die 0,8 im Zähler und die 1,2 im Nenner lässt,
erhält man 0,8 * r2/ 1,2 * r1 -> 2* r2/ 3*r1 -> r2= 3/2 r1
ich glaube auch, dass das so stimmt !

(bei Chrissi kommt zwar 2/3 r2^0,2 * r1^0,2 raus (das dürfte aber auch mit einem Vorzeichenfehler bei der Ableitung zusammenhängen)
 
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@wardan: nochmals vielen Dank für deine Hilfe - die Ableitungen samt Kürzen zur Bestimmung der Minimalkostenkombination sind mir jetzt endlich klar 🙂

Ich hätte aber noch eine andere Frage bez. Änderung des Grenzertrags / Ertragszuwächse δ²x/δr1²

Bedeutet diese Formel, dass man die Ableitung nochmals ableiten muss ?

Bsp.: 2*r1 hoch 0,4 * r2hoch 0,6
-> 2*0,4 r1hoch-0,6 * r2hoch 0,6
-> 2*0,4*-0,6 r1 hoch -1,6

oder müsste man hier etwas anderes machen ?
 
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0,8r1˄-0,6 * r2˄0,6 / 2r1˄0,4 * 0,6r2˄-0,4

dh die 0,8r1˄-0,6 aus dem Zähler werden gar nicht berücksichtigt?

Zähler: 2r1˄0,4 * r2˄ 0,6 => 2*0,4*r1˄-0,6 * r2˄ 0,6 (=1. Ableitung)
Nenner: 2*r1˄0,4 * 0,6r2˄-0,4 => 2*0,6r1˄0,4* r2˄-0,4 (=ausmultiplizieren)

0,8*r1˄-0,6 * r2˄ 0,6 / 1,2*r1˄0,4* r2˄-0,4
ist das hier Zufall, dass das Ergebnis jetzt dem Term entspricht, welchen ich zunächst gar nicht berücksichtigt habe?

0,8/1,2 * r1˄-0,6-0,4 = 0,8/1,2 *r1˄-1
0,8/1,2 * r2˄0,6-0,4 = 0,8/1,2 * r2˄0,2


0,8/1,2 * r1˄-1 / r2˄0,2 oder anders:
0,8/1,2 * r2˄-0,2 / r1

Danke für Hilfe :eek
 
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Also ich gehe nach dem Schema vor:
"Im Zähler nach r1 ableiten / Im Nenner nach r2 ableiten"

-> Zähler: 2*0,4* r1^-0,6 * r2^0,6
Nenner: 2*0,6* r1^ 0,4* r2^-0,4

dann die Faktoren mit einem negativen Exponenten auf die jeweils andere Seite schreiben, dadurch wird der Exponent positiv.

(das hängt mit dem Potenzgesetz r^-x = 1/r^x zusammen, hab anfangs immer Doppelbrüche gebaut und aufgelöst und dann gesehen, dass man die Faktoren einfach vertauschen kann)

-> r1^-0,6 kommt in den Nenner; r2^-0,4 kommt in den Zähler
(Achtung: 2*0,4 bleibt im Zähler !)

wir haben dann:
-> Zähler: 2*0,4* r2^0,6 r2^0,4
Nenner:2*0,6* r1^ 0,4* r1^0,6

dann ausmultiplizieren:
-> Zähler: 0,8*r2
Nenner: 1,2*r1
(beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert.)

zuletzt durch 0,4 kürzen:
-> 2*r2 / 3r1

somit erhalten wir: r2 = 3/2 r1
 
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wenn ich hier die Potenzregel Nr. 8 anwende: x^3/2= Wurzel aus x^3, so erhalte ich:
-16= 3. Wurzel aus -r2^2 (weiß allerdings nicht, ob ich das MInus richtig behandelt habe)
-16^3= -r2^2 (dann beide Seiten mit -1 multiplizieren)
16^3= r2^2
Wurzel aus 16^3 = r2
r2= 64

Wenn die Vorgangsweise mit dem Minus korrekt ist, erscheint mir das Ergebnis plausibel, weil es eine ganze Zahl ist. Wäre aber trotzdem gut, wenn uns ein Mathematiker dies bestätigen könnte...:rolleyes
 
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