Noch eine komische Nutzenfunktion

parachutist schrieb:

wenn man die Nutzenfunktion mit x2=1/(2U-1/x1) -sofern richtig gerechnet- zeichnen lässt:

haben die Indifferenzkurven bei hohen Nutzenwerten fast "L"- Form, wie das bei idealen Komplementen sein soll;

je näher man den Achsen kommt ,desto höher wird die Nutzenzahl. D.h. je weniger von beiden Gütern, desto besser.

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Richtig ist: Die Indifferenzkurven haben fast "L-Form" (besser: Hyperbel-Form)

Falsch ist: Je näher man den Achsen kommt, desto höher ist die Nutzenzahl. Beachte, dass an der Indifferenzkurve nicht der Nutzwert ablesbar ist. Im Gegenteil beschreibt eine Indifferenzkurve nur eine Eigenschaft genau eines Nutzwertes, nämlich die Gütermengenkombinationen, die zum selben Nutzwert führen, d.h. bzgl. die der Haushalt indifferent ist.

Analyse der Nutzenfunktion:

U(x,y) = 2 / (1/x + 1/y) = 2 * x * y / (x + y)

Grenznutzen dU/dx

dU/dx
= (2 * y * (x + y) - (2 * x * y)) / (x + y)^2
= (2 * y * x + 2 * y^2 - 2 * x * y) / (x + y)^2
= 2 * y^2 / (x + y)^2
> 0 für alle x > 0 (beachte y > 0)

Also: Der Grenznutzen ist positiv

dU2/dx2
= -2 * y^2 * (x + y)^-3 * 2 * (x + y)
< 0 für alle x > 0

Also: Der Grenznutzen ist abnehmend

Die Nutzenfunktion ist also eine neoklassische Nutzenfunktion und bildet eine Präferenzrelation ab, die die Rationalitätsaxiome erfüllt.

Ausserdem ist die Nutzenfunktion stetig und erfüllt die Nichtsättigungseigenschaft. Das ist daran zu erkennen, dass die Indifferenzkurven sich immer mehr "nach rechts oben" verschieben, d.h. sich vom Ursprung entfernen, je größer der Nutzwert ist.

Die Indifferenzkurve sieht so aus für einen beliebigen Nutzwert u > 0:

u
= 2 / (1/x + 1/y)
= 2 * x * y / (x + y)

Also:

u * x + u * y = 2 * x * y

u * x = 2 * x * y - u * y = y * (2 * x - u)

Also Indifferenzkurve: y = u * x / (2 * x - u)

Grenzrate der Substitution dy/dx von y durch x:

dy/dx
= (u * (2 * x - u) - u * x * 2) / (2 * x - u)^2
= (2 * u * x - u^2 - u * x * 2) / (2 * x - u)^2
= -u^2 / (2 * x - u)^2
< 0 für alle x > 0 (beachte u > 0)

Also: Die Indifferenzkurven sind überall fallend, d.h. die Präferenzrelation erfüllt die Nichtsättigungseigenschaft.

Berechnung des Expansionspfades:

Seien qx und qy die Faktorpreise für x und y, und B = qx * x + qy * y die Budgetgerade, dann gilt im Nutzenmaximum:

"Die Grenznutzen verhalten sich so wie die Faktorpreise"

(dU/dx) / (dU/dy) = qx / qy

(2 * y^2 / (x + y)^2) / (2 * x^2 / (y + x)^2) = qx / qy

y^2 / x^2 = qx / qy

Nachfrage von x:

y = x * (qx/qy)^1/2

B
= qx * x + qy * y
= qx * x + qy * x * (qx/qy)^1/2
= x * (qx + (qx * qy)^1/2)

x = B / ((qx + (qx * qy)^1/2))

dx/dB = 1 / ((qx + (qx * qy)^1/2)) > 0 also: x ist ein normales Gut

Nachfrage von y (analog):

x = y * (qy/qx)^1/2

B
= qx * x + qy * y
= qx * y * (qy/qx)^1/2 + qy * y
= y * (qy + (qy * qx)^1/2)

y = B / (qy + (qy * qx)^1/2)

dy/dB = 1 / (qy + (qy * qx)^1/2) > 0 also: y ist ein normales Gut

Liebe Grüße