Nutzenfunktionen und Präferenzen

h(Z) = (e^Z)^0,5 passt!

1. h ist streng monoton steigend, denn für alle Z > 0 ist h'(Z) > 0, denn

h'(Z)
= 0,5 * (e^Z)^-0,5 * e^Z
= 0,5 * (e^Z)^0,5
> 0

2. Es ist h(V(X, Y)) = U(X, Y)

h(V(X, Y))
= (e^V(X, Y))^0,5
= (e^LN(X * Y))^0,5
= (X * Y)^0,5
= X^0,5 * Y^0,5
= U(X, Y)

Also: U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab.

Liebe Grüße

chrissi,

soweit so klar, aber wie kommt man auf h(Z) - nur durch "hingucken" oder gibts da nen Trick?

Danke und liebe Grüße

h(V(X, Y)) = U(X, Y) bedeutet, dass V nach U überführt wird. Das gelingt, wenn zunächst die Umkehrfunktion von V gebildet wird, um die Argumente von V (also die Güterbündel X, Y) "freizulegen" und dann "sowas ähnliches wie U" darauf "angewendet" wird.

Umkehrfunktion von V(X, Y) = LN(X * Y) ist e^(X * Y), damit hat man e^(V(X, Y)) = e^(LN(X, Y)) = (X, Y) und darauf dann Z^0,5 ("sowas ähnliches wie U") anwenden ergibt (X, Y)^0,5 = X^0,5 * Y^0,5 = U(X, Y)

Wenn die so konstruierte Funktion streng monoton steigt, dann bilden U und V dieselbe Präferenzordnung ab.

Beispiel: U(X , Y) = (X + Y)^3 und V(X, Y) = (X + Y)^0,5

Umkehrfunktion von V: Z^2

Darauf angewendet: Z^3

Das ergibt h(Z) = (Z^2)^3 und es ist:

h(V(X, Y))
= h((X + Y)^0,5)
= (((X + Y)^0,5)^2)^3
= (X + Y)^3
= U(X, Y)

Außerdem steigt h streng monoton: h'(Z) = 6 * Z^5 > 0 für alle Z > 0

Also bilden U und V dieselbe Präferenzordnung ab.

Liebe Grüße

Danke für Deine ausfühliche Erklärung, jetzt ist es etwas klarer...aber mein Lieblingsthema wird das nicht ;o(...

Liebe Grüße

Ich präzisiere meine obigen Gedanken noch ein wenig, um den Ansatz für die Suche nach einer Transformationsfunktion h noch etwas konstruktiver zu machen.

Seien U und V Nutzenfunktionen und die drei Funktionen v, u und f gegeben (besser: "gefunden"), so dass gilt:

1.) V(X,Y) = v(f(X,Y))

2.) U(X,Y) = u(f(X,Y))

Sei dann h wie folgt definiert:

h(Z) = u(v^-1(Z)) .........// v^-1 bezeichnet die Umkehrfunktion von v

Dann gilt:

h(V(X,Y))
= h(v(f(X,Y))) ..............// wegen 1.)
= u(v^-1(v(f(X,Y)))) ....// wegen Definition von h
= u(f(X,Y)) .................// wegen v^-1(v(Z)) = Z
= U(X,Y) ................... // wegen 2.)

h ist somit Transformationsfunktion von V nach U.

Die Aufgabe besteht also, Funktionen v, u, f zu finden, die 1.) und 2.) erfüllen. Wenn h(Z) wie definiert dann für alle Z > 0 streng monoton steigt, dann bilden U und V dieselbe Präfenzordnung ab.

Beispiel:

U(X,Y) = X^0,5 * Y^0,5 und V(X,Y) = LN(X * Y)

f(X,Y) = X * Y

u(Z) = Z^0,5

v(Z) = LN(Z) und damit v^-1(Z) = e^Z

Damit gilt:

1.) V(X,Y) = LN(X * Y) = LN(f(X,Y)) = v(f(X,Y))

2.) U(X,Y) = X^0,5 * Y^0,5 = (X * Y)^0,5 = (f(X,Y))^0,5 = u(f(X,Y))

Damit ist h also wie folgt definiert:

h(Z)
= u(v^-1(Z))
= u(e^Z)
= (e^Z)^0,5

An dem Beispiel kann man erkennen: Die Funktion f (hier f(X,Y) = X * Y) ist eine "Gemeinsamkeit" von U und V, besser ein gemeinsamer Term von U und V. Diesen gemeinsamen Term muss man zunächst "aufspüren"/erkennen. Dann kann man u und v herleiten/erkennen und anschließend die Transformationsfunktion h kostruieren nach der oben angegebenen Konstruktionsvorschrift (h(Z) = u(v^-1(Z)), d.h. die Umkehrfunktion von v bilden und mit u verknüpfen. Anschließend muss noch geprüft werden, ob h streng monoton steigt.

Also als Rezept kann man aufschreiben:

1. Finde Funktion f (Gemeinsamer Term von U und V)
2. Bilde die Funktionen u und v
3. Bilde die Funktion v^-1 (Umkehrfunktion von v)
4. Bilde Transformationsfunktion h = u ° v^-1
5. Prüfe ob h überall streng monoton steigt.

Liebe Grüße

Super, dankeschön. Das ist ein Ansatz an dem man sich ausprobieren kann...jetzt heißt es üben, üben, üben...