Optimierungsproblem Gewinnfunktion

Und dann habe ich es morgen doch noch raus bekommen.

Hier ist mit den nominalen Größen zu rechnen. Es gibt wohl unterschiedliche Rechenwege. Nachstehender ist derjenige, der mir einleuchtet:

Die Gewinnfunktion lautet:

[tex]G = Y - (\frac W P) * N - i * K[/tex]

In Y wird die vorgegebene Produktionsfunktion eingesetzt.
Für ein Gewinnmaximum gilt, dass die erste Ableitung gleich Null sein muss. Also wird die gesamte Funktion (also inklusive der eingesetzten Produktionsfunktion) nach dem Faktor abgeleitet, für den der optimale Einsatz gesucht wird. Dann wird so umgeformt, dass der gesuchte Faktor auf einer Seite alleine steht.
Und wenn man im Gegensatz zu mir, Rechenfehler bei der Ableiterei vermeidet, kommt man auch auf die Musterlösungen.

ninabendig schrieb:

Hallo zusammen,

irgendwie fehlt mir ein Bit, um das Verständnis des optimalen Arbeitseinsatzes in mein Hirn dringen zu lassen.

Ausgangsbasis:
Die Verkaufserlöse entsprechen der Summe aus Kosten für Arbeit, für Kapital sowie den Gewinnen.
[tex]
P * Y = W * N + i * P * K + P * Q
[/tex]
Forme ich um, so dass ich die Zusammensetzung des Gewinns sehe, so komme ich auf:
[tex]
G = P * Y - W * N + i * P * K [/tex] mit [tex] G = P * Y [/tex] als realen Gewinn.

Wie sieht denn hier die Ableitung nach N aus? Nach etlichen mathematischen Fehlschlägen würde ich mich über Hilfe sehr freuen.

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Mir scheint, dass Du ein Problem mit real und nominal hast. Nominal wird immer in Geldeinheiten gemessen. Doch einmal der Reihe nach:

Gewinn = Umsatz - Kosten (versuchen wir das gleich in Geldeinheiten also nominal umzusetzen)

(nominaler) Gewinn = (Preis * produzierte Menge) - (Kosten der Arbeit) - (Kosten des Kapitales)

Die produzierte Menge ist eine Funktion der eingesetzten Arbeit und des eingesetzten Kapitales, nämlich die (real definierte) Produktionsfunktion. Der Preis der Arbeit ist der (Nominallohn pro Arbeitseinheit) mal (die eingesetzte Arbeit), der Preis des Kapitales ist der Zins. Ein Zinssatz mal etwas realem ist immer noch real, das heisst wir müssen das Kapital auch noch mit dem Preisniveau multiplizieren.

Setzen wir mal alles ein, erhalten wir:

[tex]
G_{nominal} = P * Y(N,K) - W * N + i * P * K [/tex]

Division durch P ergibt den realen Gewinn (in Gütereinheiten)
[tex]
G_{real} = Y(N,K) - (W/P) * N + i * K [/tex]

Dieser soll nun maximiert werden. Nehmen wir an, wir wollen den optimalen Arbeitseinsatz herausfinden. Dazu leiten wir nach N ab:

[tex]
\frac {dG_{real}} {dN} = Y_N(N,K) - (W/P) - 0 [/tex] (Ich finde gerade das Zeichen für die partielle Ableitung nicht, deshalb d statt diesen griechischen dingsda^^) (Die Ableitung von i*K nach N ist natürlich Null, es handelt sich ja um einen konstanten Summanden.)

Setzen wir Null, erhalten wir die Bedingung:
[tex]
0 = Y_N(N,K) - (W/P) [/tex]
bzw.
[tex]
Y_N(N,K) = (W/P) [/tex]

Ausgesprochen heisst das also nichts anders als: die Entlohnung der Arbeit (der Reallohn !!) entspricht der Grenzproduktivität der (letzten eingesetzen) Arbeitskraft.

Bekanntlich sinkt die Grenzproduktivität ja mit zusätzlichen Arbeitskräften (weil sie miteinander quatschen und sich gegenseitig vom Arbeiten abhalten *hrhr* und sich den einen vorhandenen Hammer teilen müssen)

Für das Kapital bekommst Du das sicher selbst hin.

Dankeschön Thomas.

Jetzt hab ich auch endlich eine für mich griffige Definition für real und nominal.

... und das mit "dem Hammer teilen" ist so klasse, dass mein Hirn diese Eselsbrücke dankbar angenommen hat.