Präferenzordnung und ableitbaren Nutzenfunktionen

Maik,

U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab, wenn es eine Funktion h gibt, die alle Nutzenwerte von U "reihenfolgeerhaltend" auf Nutzenwerte von V abbildet, klar oder?

Diese Funktion h muss also:

1. U in V abbilden (transformieren), d.h. es muss gelten h(U(X)) = V(X) für jedes Güterbündel X

2. Überall streng monoton steigen, damit bei der Transformation von U nach V die Reihenfolge der Nutzenwerte erhalten bleibt.

Wenn es eine Funktion h gibt, die beide Eigenschaften erfüllt, genau dann bilden U und V auch dieselbe Präferenzordnung ab. Die Aufgabe besteht also darin, eine solche Funktion h aufzuspüren oder sich zu überlegen, dass es eine solche Funktion h nicht gibt. Ein Rezept gibt es für das Aufspüren einer solchen Funktion nicht, da hilft nur ein wenig mathematisches Gespür.

U(X1, X2) = X1 + X2

V(X1, X2) = -1 / (X1 + X2)

Hier betrachte h(x) = -1 / x (die habe ich durch "genaues betrachten" der Definitonen von U und V "aufgespürt")

1. Es gilt h(U(X)) = -1 / U(X1, X2) = -1 / (X1 + X2) = V(X) für ein beliebiges Güterbündel X

2. h'(x) = 1 / x^2 > 0 für alle x > 0, d.h. h ist überall streng monoton steigend.

Die Funktion h(x) = -1 / x erfüllt also beide formulierten Eigenschaften, d.h. U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab!

Liebe Grüße

Hey danke dir🙂

jetzt ist mir ein Licht aufgegangen🙂 Jedenfalls hatte ich jetzt die Aufgaben richtig und schließe daraus, dass ich es verstanden habe.

lg

Maik