Nachfragefunktion X(P) = a - b * P
1. Fall: In (X = 100, P = 2) ist die Preiselastizität e = -2
Dann ist die Nachfragefunktion (a, b) festgelegt durch
(1) e = -2 = (dX/dP) * (P/X) also -2 = (dX/dP) * 2/100 also b = dX/dP = -100
(2) X(P) = a - b * P also 100 = a - 100 * 2 also a = 300
Die Nachfragefunktion lautet daher: X(P) = 300 - 100 * P
Für den Gewinn G als Funktion von P gilt:
G(P)
= X(P) * P - Kv(P) - Kfix
= X(P) * P - 1 * X(P) - Kfix ...// Kv(X) = X da var. Stückkosten = 1
= X(P) * (P - 1) - Kfix
= (300 - 100 * P) * (P - 1) - Kfix
= 300 * P - 300 - 100 * P^2 + 100 * P - Kfix
= -100 * P^2 + 400 * P - 300 - Kfix
Nun gilt:
G(2) = -100 * 2^2 + 400 * 2 - 300 - Kfix = 100 - Kfix
G(1,5) = -100 * 1,5^2 + 400 * 1,5 - 300 - Kfix = 75 - Kfix
Also: G(1,5) < G(2), d.h. eine Preisänderung von 2 nach 1,5 führt zu einem Gewinnrückgang
Beachte das Gewinnmaximum:
dG/dP = -200 * P + 400 = 0 falls P = 2 (d2G/dP2 = -200 < 0, d.h. Maximum)
Bei P = 2 ist also das Gewinnmaximum, d.h. jede Preisänderung führt zu einem Gewinnrückgang!
2. Fall: In (X = 100, P = 2) ist die Preiselastizität e = -10
Dann ist die Nachfragefunktion (a, b) festgelegt durch
(1) e = -10 = (dX/dP) * (P/X) also -10 = (dX/dP) * 2/100 also b = dX/dP = -500
(2) X(P) = a - b * P also 100 = a - 500 * 2 also a = 1100
Die Nachfragefunktion lautet daher: X(P) = 1100 - 500 * P
Für den Gewinn G als Funktion von P gilt:
G(P)
= X(P) * P - Kv(P) - Kfix
= X(P) * P - 1 * X(P) - Kfix ...// Kv(X) = X da var. Stückkosten = 1
= X(P) * (P - 1) - Kfix
= (1100 - 500 * P) * (P - 1) - Kfix
= 1100 * P - 1100 - 500 * P^2 + 500 * P - Kfix
= -500 * P^2 + 1600 * P - 1100 - Kfix
Nun gilt:
G(2) = -500 * 2^2 + 1600 * 2 - 1100 - Kfix = 100 - Kfix
G(1,5) = -500 * 1,5^2 + 1600 * 1,5 - 1100 - Kfix = 175 - Kfix
Also: G(1,5) > G(2), d.h. eine Preisänderung von 2 nach 1,5 führt zu einem Gewinnanstieg
Beachte das Gewinnmaximum:
dG/dP = -1000 * P + 1600 = 0 falls P = 1,6
G(1,6) = -500 * 1,6^2 + 1600 * 1,5 - 1100 - Kfix = 180 - Kfix
Das Gewinnmaximum liegt bei P = 1,6
Liebe Grüße
