Preiselastizität der Nachfrage

Mal am Beispiel:

Sei die Preisabsatzfunktion p = 50 - 0,25 * x gegeben

Die Nachfragefunktion ist dann x = 200 - 4 * p

Die Preiselastizität der Nachfrage gibt dann für einen beliebigen Preis an, wie sich die Nachfrage relativ zu einer marginalen Änderung des Preises ändert.

Sei z.B. p = 10, dann ist x = 200 - 4 * 10 = 160

Nun erhöht sich der Preis p = 10 ein klein wenig, sagen wir um dp = 0,0001.

Dann ist pneu = p + dp = 10 + 0,0001 = 10,0001

Dann ist xneu = 200 - 4 * pneu = 200 - 4 * 10,0001 = 159,9996

Die Änderung der Nachfrage ist dx = xneu - x = 159,9996 - 160 = -0,0004

Wir haben also:

p = 10 ... und dp = 0,0001
x = 160 ..und dx = -0,0004

Nun gilt für das Verhältnis der relativen Nachfrageänderung zur relativen Preisänderung:

(dx/x) / (dp/p)
= (-0,0004 / 160) / (0,0001 / 10)
= -0,25

Also: Der prozentuale Nachfragerückgang beträgt nur 25% der prozentualen Preiszunahme, d.h. der Nachfragerückgang ist nicht so stark wie die Preiszunahme, denn:

dp = 0,0001: 0,0001 * 100 / 10 = 0,001% Preiszunahme
dx = 0,0004: 0,0004 * 100 / 160 = 0,00025% Nachfragerückgang

Der Nachfragerückgang ist also nur ein viertel (0,25) so stark wie die Preiszunahme (da 0,25 * 0,001 = 0,00025)

Solange der relative Nachfragerückgang kleiner 100% (> -1) der relativen Preiszunahme ist, nennt man den Nachfragerückgang unelastisch (weil er sich nicht so stark ändert wie der Preis), ist er gleich 100% (= 1) nennt man ihn 1-elastisch und ist er größer als 100% (< -1) nennt man ihn elastisch (weil er sich stärker ändert als der Preis).

Mit Infinitesimalrechnung:

(dx/x) / (dp/p)
= (dx / dp) * (p / x)
= -4 * (10 / 160) ....// dx/dp = -4 da x = 200 - 4 * p
= -0,25

Beachte: -0,25 ist die Preiselastizität der Nachfrage für den Preis p = 10. Für andere Preise ergeben sich nach der gleichen Überlegung andere Werte.

In der EA war nach der allgemeinen Formel für die Preiselastizität gefragt und die lautet n(p) = p / (p - a) für die Preisabsatzfunktion p = a - b * x.

Angewendet auf unser Beispiel:

p = 50 - 0,25 * x, d.h. a = 50

n(10) = 10 / (10 - 50) = -0,25

Liebe Grüße

erstmal vielen Dank für die wirklich ausführliche Antwort.

2 Fragen habe ich aber noch..🙂:
1. Ist es egal, wie ich die Elastizität berechne? Kann ich die obere Variante oder die Infinitesimalrechnung nutzen?

2. In der EA ist folgende Aufgabe:
Gegeben sei die lineare Nachfragekurve x( p) = a − bp (a, b > 0) , wobei p > 0 den Preis und x > 0 die Menge des nachgefragten Gutes bezeichnet.
Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage, Ex( p) . Was besagt sie?
Bestimmen Sie die Menge der Preise, für die die Nachfrage elastisch ist. Wie bestimmt man diese Menge?

Du hast geschrieben, die allgemeine Formel lautet: n(p) = p / (p - a
ich dachte, es ist dx/x / dp/p !?

Lieben Dank für die Hilfe!

Viele Grüße
Sven

sven811 schrieb:

Du hast geschrieben, die allgemeine Formel lautet: n(p) = p / (p - a
ich dachte, es ist dx/x / dp/p !?

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Hallo Sven,

n = (dx/x) / (dp/p) ist die Definition der Preiselastizität der Nachfrage.

Aus dieser Definition leitet sich die Berechnungsvorschrift (Berechnungsformel) n(p) = p / (p - a) ab, mit der zu jedem p die Preiselastizität berechnet werden kann. Die Herleitung dieser Berechnungsformel aus der Definition war in der EBWL EA gefragt. Hier nochmal die Ableitung

Gegeben: p(x) = a - b * x bzw. x(p) = a/b - p/b

n(p)
= (dx/x) / (dp/p) ..// Definition Preiselastizität
= (dx/dp) * (p/x) ..// dx/dp = -1/b
= -1/b * p / ((a - p) / b) .. // x(p) = a/b - p/b = (a - p) / b
= -p / (a - p)
= p / (p - a) ..// Berechnungsformel

Liebe Grüße

Sorry, dass ich nochmal so doof frage:
Mit der Defintion hast Du mir doch am obigen Beispiel auch die Elastizität berechnet. Warum benötige ich diese andere Formel? und was ist a?

Viele Grüße
Sven

sven811 schrieb:

1. Ist es egal, wie ich die Elastizität berechne? Kann ich die obere Variante oder die Infinitesimalrechnung nutzen?

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Nein, korrekt ist es nur mit der Infinitesimalrechnung, d.h. der Verwendung der Ableitungen. Denn alles andere ist nur eine Nährerungsrechnung. Wenn wie oben ein dp gewählt wird, dann ist das noch zu groß. Richtig ist die Grenzwertbetrachtung dp > 0 gegen 0.

Dass bei meinem obigen Beispiel schon bei dp = 0,0001 das exakte Ergebnis -0,25 herauskommt ist in der Regel nicht so. Die Preiselastizität für einen Preis p ist also der Grenzwert, wenn dp gegen 0 läuft, d.h. die Preiselastizität wird berechnet, in dem für P + epsilon, das epsilon > 0 immer kleiner gewählt wird und schliesslich gegen 0 läuft, aber die 0 nie erreicht (Infinitesimalrechnung).

Liebe Grüße

sven811 schrieb:

Sorry, dass ich nochmal so doof frage:
Mit der Defintion hast Du mir doch am obigen Beispiel auch die Elastizität berechnet. Warum benötige ich diese andere Formel? und was ist a?

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a kommt aus der Preisabsatzfunktion p(x) = a - b * x

Klar, die Berechnunsformel ist auch aus der Definition hergeleitet. Der Vorteil der Berechnungsformel ist der, dass nur noch ein Wert hineingeht, nämlich p.

Klar, die Berechnungsformel ist lediglich eine Umformung der Definition, nichts weiter.

Die Berechnungsformel ist eine Funktion in p, die Definition ist ein Ausdruck (keine Funktion), in den p und x eingehen.

Der Unterschied ist nicht groß, aber je nach Aufgabe ist mal die Definiton praktischer und mal die Berechnungsformel (die ich nicht auswendig kenne, ich leite die immer wieder aus der Defintion her).

Liebe Grüße

Ok, das verstehe ich...danke!

bei der ea stellen sie jedoch folgende frage:
bestimmen Sie die Menge der Preise, für die die Nachfrage elastisch ist. Wie bestimmt man diese Menge?

sven811 schrieb:

ok, das verstehe ich...danke!

bei der ea stellen sie jedoch folgende frage:
bestimmen Sie die Menge der Preise, für die die Nachfrage elastisch ist. Wie bestimmt man diese Menge?

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Wenn p(x) = a - b * x gegeben, dann ist

Elastizität der Nachfrage n(p) = p / (p - a) ..// Das ist die Berechnungsformel

Elastisch ist die Nachfrage für alle p für die gilt:

n(p) < -1

denn dann ist der prozentuale (relative) Nachfragerückgang größer als die prozentuale (relative) Preissteigerung.

Also:

n(p) < -1

falls p / (p - a) < -1

falls -p / (a - p) < -1

falls p / (a - p) > 1

falls p > a - p

falls 2 * p > a

falls p > a/2

Also: Nachfrage elastisch, d.h. n(p) < -1, falls p > a/2

Siehst Du, hierfür kann man die Berechnungsformel gut gebrauchen.

Liebe Grüße

eine Frage habe ich noch:
Sehe ich es richtig, wenn die Preisabsatzfunktion gegeben ist, nehme zur Berechnung der Elastizität die n(p) = p / (p - a) Formel und wenn die Nachfragefunktion gegeben ist die Formel dx / dp) * (p / x)?

Viele Grüße
Sven

sven811 schrieb:

Hi Chrissi,

eine Frage habe ich noch:
Sehe ich es richtig, wenn die Preisabsatzfunktion gegeben ist, nehme zur Berechnung der Elastizität die n(p) = p / (p - a) Formel und wenn die Nachfragefunktion gegeben ist die Formel dx / dp) * (p / x)?

Viele Grüße
Sven

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Nein, beachte dass Nachfragefunktion und Preis-Absatz-Funktion praktisch dasselbe ist, die eine ist die Umkehrfunktion der anderen, d.h. wenn die Preis-Absatzfunktion p(x) = a - b * x gegeben ist, ergibt sich die Nachfragefunktion durch einfaches Umstellen nach x:

p = p(x) = a - b * x ..// = Preis-Absatz-Funktion

ergibt:

x = x(p) = (a - p) / b = a/b - p/b ..// = Nachfrage-Funktion

Deshalb wird die Preis-Absatzfunktion auch als inverse Nachfragefunktion bezeichnet.

Die Preiselastizität lässt sich aber auch als Funktion von x darstellen. Der Start dieser Herleitung ist wieder die Definiton:

n(x)
= (dx/x) / (dp/p)
= (dx/dp) * (p/x)
= (-1/b) * [(a - b * x) / x] ..// p = a - b * x für p einsetzen
= 1 - (a / (b * x))

Für die Preiselastizität der Nachfrage gibt es also folgende Darstellungen:

(1) Definition: n = (dx/x) / (dp/p)

(2) Als Funktion von p: n(p) = p / (p - a)

(3) Als Funktion von x: n(x) = 1 - (a / (b * x))

Alle drei basieren auf der Preis-Absatz-Funkion p(x) = a - b * x bzw. deren Umkehrfunktion, der Nachfragefunktion x(p) = a/b - p/b

Liebe Grüße

sven811 schrieb:

Hallo zusammen,

ich lerne gerade die Preiselastizität der Nachfrage und stehe irgendwie auf dem Schlauch was die genaue Berechnung angeht.
Die Formel lautet ja: dx/x / dp/p , aber wie ich da was genau berechne verstehe ich nicht. Könnt Ihr mir, vielleicht anhand eines Beispiels, helfen?

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dx/x / dp/p ist nicht gut handhabbar, da man mit den d* Ausdrücken nicht sonderlich gut umgehen kann.

Aus diesem Grund wandelt man den Ausdruck sinnvollerweise so um:

dx/x / dp/p = dx/dp * p/x

Da die Ableitung einer Funkiton p nach x als

p' = dp/dx

definiert ist, ist also

1/p' = dx/dp

Also auf die obige Elastizität bezogen:

dx/x / dp/p = dx/dp * p/x = 1/p' * p/x

Nun hat man einen Ausdruck, in den man die Funktionsvorschrift (Formel) von p und die Funktionsvorschrift p' einsetzten kann. Und damit berechnet man dann die Elastizität.

Um die Elastizität also allgemein für ein gegebenes p zu berechnen, setze Du in den Ausdruck

1/p' * p/x

einfach p und p' ein.

PS: Das Skript ist an einigen Stellen sehr merkwürdig geschrieben. Mir erscheinen einige Dinge wenig intuitiv hergeleitet. Naja, ist Geschmackssache...

seaview schrieb:

Um die Elastizität also allgemein für ein gegebenes p zu berechnen, setze Du in den Ausdruck

1/p' * p/x

einfach p und p' ein.

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In EWiWi ist p immer eine fallende Gerade p = a - b * x, so dass p' = -b ist und eliminiert man nun noch p (bzw. x) durch Einsetzen der Funktionsgleichung, so erhält man die Elastizität als Funktion einer Variablen x (bzw. p):

1/p' * p/x
= -1/b * [(a - b * x) / x] ..// p eliminieren p = a - b * x
= 1 - (a / (b * x))

1/p' * p/x
= -1/b * [p / ((a - p) / b)] ..// x eliminieren x = (a - p) / b
= p / (p - a)

Ist der Preis p oder die Nachfrage x gegeben, erhält man die Preiselastizität für diese Werte durch Einsetzen.

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

Ist der Preis p oder die Nachfrage x gegeben, erhält man die Preiselastizität für diese Werte durch Einsetzen.

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Ich sehe das als Bestätigung meines Vorgehens an. Richtig?

seaview schrieb:

Ich sehe das als Bestätigung meines Vorgehens an. Richtig?

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Ja, da aber von p noch mehr bekannt ist als die Differenzierbarkeit, gibt es keinen Grund in der Formelbildung/Vereinfachung bei p' und p "stehen zu bleiben" (siehe EA). Mit der Form p = a - b * x kann p und p' noch genauer "aufgelöst" werden.

Aber n = 1/p' * p/x wird natürlich auch gebraucht, z.B. um zu zeigen, dass für jede (differenzierbare) Preis-Absatzfunktion im Umsatzmaximum die Preiselastizität -1 ist.

U(x) = p(x) * x

Umsatzmaximum:

dU/dx = dp/dx * x + p = 0 (Produktregel)

falls p * (dp/dx * x/p + 1) = 0

falls p * (1/n + 1) = 0 ..// n = 1/p' * p/x = 1 / (dp/dx * x/p)

falls 1/n = -1

falls n = -1

Liebe Grüße

nochmal,

also jetzt verstehe ich irgendwie nur noch "Bahnhof"..:🙂=

Nochmal bitte ganz kurz und einfach für mich:
Arbeite ich nun, wenn ich die Preiselastizität berechenn möchte, mit

p / (p - a) oder
1/p' * p/x oder
(dx / dp) * (p / x) ???

Bin irgendwie leicht verwirrt...

Bitte helft mir..🙂

Sven

Sven,

ausführlicher als hier #11 kann ich es nicht erklären. Du musst die Preiselastizität verstehen, dann kannst Du auch damit arbeiten. Zum Verstehen verweise ich nochmal auf diesen Beitrag: #2. Nur die Formeln zu kennen hilft Dir nicht weiter. "Kurz und einfach" im Sinne von "Ich will ein Rezept" hilft auch nicht. Ich denke dieser thread hat genug Material, um die Sache zu verstehen.

Alle Darstellungen sind absolut gleichwertig, das siehst Du doch daran, dass alle Darstellungen aus einer anderen mittels einfacher Umstellungen herleitbar sind.

1/p' * p/x ist doch auch nichts anderes als

1/p' * p/x
= 1 / (dp/dx) * p/x ..// weil p' = dp/dx ist
= (dx / dp) * p/x .. // weil 1/(dp/dx) = dx/dp
= (dx / x ) / (dp / p)

womit wir wieder bei der Definition angelangt sind.

Wenn Du die Nachfragemenge (bzw. Preis) hast, eignet sich zur Berechnung der Preiselastizität am besten die Formel, in der die Nachfragemenge (bzw. der Preis) eingeht.

Liebe Grüße

sven811 schrieb:

Hallo nochmal,

also jetzt verstehe ich irgendwie nur noch "Bahnhof"..:🙂=

p / (p - a) oder
1/p' * p/x oder
(dx / dp) * (p / x) ???

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Ich glaube auch, dass wir das nicht einfacher formulieren können. Meiner Ansicht nach ist #12 doch schon ein simples Kochrezept.

Nimm Deine Aufzeichnungen, mach ein PDF draus und poste es hier. Ggf. kann dann dazu jemand etwas sagen.

eure Erklärungen sind wirklich super.
Habe jedoch noch eine Aufgabe bei der ich nicht auf die Lösung komme.

Geben ist eine Nachfrage-Funktion: x(p)=(1/2) + (1/p). Für welchen Preis erreicht die Preiselastizität der Nachfrage den Wert -1/2?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen... komme nicht drauf. Komme bis zum Punkt: -1/2 = -(1/p^2) * p /((1/2) + (1/p)))?
Ist das richtig? wie gehts weiter?

Hier ist es auch ganz gut erklärt: https://ambeispiel.de/preiselastizitat/