Problem mit der Substitutionselastizität

unter Elastizität ist ist das Veränderungsverhältnis zu verstehen. D. h. verändert man einen Parameter um 1 %, um wieviel % verändert sich der andere Parameter. Das Verhältnis der Veränderungen (Quotient) ist die Elastizität. Mit der Substitutionselastizität läßt sich also z.B. beschrieben, wie sich die Veränderung des einen (Produktions)Faktors auf die Änderung des anderen auswirkt. Elastizitäten verfolgen einen durch die gesamte VWL.

Ich hoffe, mich halbwegs allgemein und verständlich artikuliert zu haben.

Grüße

ahab

Die Substitutionselastizität Sij ist das Verhältnis der relativen Änderung des Verhältnisses des Faktoreinsatzes (ri/rj) zur relativen Änderung der Grenzrate der Substitution Sji = drj/dri von Faktor j durch Faktor i.

Die Substitutionselastizität gibt also an, wie stark sich das Faktormengenverhältnis im Vergleich zu einer marginalen (d.h. unendlich kleinen) relativen Zunahme der Grenzrate der Substitution ändert.

Definition Substitutionselastizität Sij:

Seien xi' = dx/dri und xj' = dx/drj die Grenzproduktivitäten der Faktoren i und j. Dann ist (bekanntlich) der Quotient xi'/xj' identisch mit Sji, die Grenzrate der Substitution von Faktor j durch Faktor i.

Substitutionselastizität Sij:
Sij
= [ d(ri/rj) / (ri/rj) ] / [ d(xi'/xj') / (xi'/xj') ] ………// Definition Substitutionselastizität
= [ d(ri/rj) / d(xi'/xj') ] * (xi'/xj') * rj/ri …………….// Umformung


Die Substitionselastizität kann man schrittweise so berechnen:
1. Schritt: xi' / xj' berechnen (das ist der Quotient der Grenzproduktivitäten)
2. Schritt: d(xi'/xj') / d(ri/rj) berechnen (das ist der Quotient der Grenzproduktivitäten abgeleitet nach ri/rj)
3. Schritt: Kehrwert d(ri/rj) / d(xi'/xj') von d(xi'/xj') / d(ri/rj) aus dem 2. Schritt bilden
4. Schritt: Substitutionselastizität Sij = - [ d(ri/rj) / d(xi'/xj') ] * (xi'/xj') * rj/ri berechnen

Liebe Grüße

Beispiel: Substitionalitätselastizität S12 einer CES-Produktionsfunktion mit zwei Faktoren 1 und 2:

Produktionsfunktion: x = (c1 * r1^-p + c2 * r2^-p)^-1/p

1. Schritt: Quotient der Grenzproduktivitäten x1'/x2' = (dx/dr1) / (dx/dr2) berechnen:
x1'= dx/dr1 = -1/p * (c1 * r1^-p + c2 * r2^-p)^(-1/p-1) * c1 * -p * r1^-p-1
x2'= dx/dr2 = -1/p * (c1 * r1^-p + c2 * r2^-p)^(-1/p-1) * c2 * -p * r2^-p-1
x1'/ x2' = c1 * r1^-p-1 / (c2 * r2^-p-1) = (c1/c2) * (r1/r2)^-p-1

2. Schritt: Quotient der Grenzproduktivitäten abgeleitet nach r1/r2 berechnen:
d(x1'/x2') / d(r1/r2) = (-p-1) * (c1/c2) * (r1/r2)^-p-2

3. Schritt: Kehrwert des Qutoienten aus dem 2. Schritt bilden:
d(r1/r2) / d(x1'/x2') = -1 / (1+p) * (c2/c1) * (r2/r1)^-p-2

4. Schrittt: Substitutionselastizität S12 = - [ d(r1/r2) / d(x1'/x2') ] * (x1'/x2') * r2/r1 berechnen:

Substitutionselastizität S12:
S12
= -[ d(r1/r2) / d(x1'/x2') ] * (x1'/x2') * r2/r1
= 1 / (1+p) * (c2/c1) * (r2/r1)^-p-2 * (c1/c2) * (r1/r2)^-p-1 * r2/r1
= 1 / (1+p) * (r2/r1)^-p-1 * (r1/r2)^-p-1
= 1 / (1+p) * (r2/r1)^-p-1 * (r2/r1)^p+1
= 1 / (1+p) * (r2/r1)^0
= 1 / (1+p)

Die Substitutionselastizität S12 ist also für eine festes p konstant 1/(1+p).

Liebe Grüße

Anderes Beispiel: Cobb-Douglas


x = c * r1^a * r2^b mit 0 < a, b < 1 und c > 0

1. Schritt: Quotient der Grenzproduktivitäten x1'/x2' = (dx/dr1) / (dx/dr2) berechnen:
x1' = dx/dr1 = c * a * r1^(a-1) * r2^b
x2' = dx/dr2 = c * b * r1^a * r2^(b-1)
x1' / x2' = c * a * r1^(a-1) * r2^b / (c * b * r1^a * r2^(b-1)) = a/b * r2/r1 = a/b * (r1/r2)^-1

2. Schritt: Quotient der Grenzproduktivitäten abgeleitet nach r1/r2 berechnen:
d(x1'/x2') / d(r1/r2) = -a/b * (r1/r2)^-2

3. Schritt: Kehrwert des Qutoienten aus dem 2. Schritt bilden:
d(r1/r2) / d(x1'/x2') = -b/a * (r1/r2)^2

4. Schrittt: Substitutionselastizität S12 = - [ d(r1/r2) / d(x1'/x2') ] * (x1'/x2') * r2/r1 berechnen:
Substitutionselastizität S12:
S12
= -[ d(r1/r2) / d(x1'/x2') ] * (x1'/x2') * r2/r1
= b/a * (r1/r2)^2 * a/b * (r1/r2)^-1 * r2/r1
= 1

Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist die Substitutionalitätselastizität also stets 1, d.h. das Faktormengenverhältnis r1/r2 in einem Produktionspunkt (r1, r2) ändert sich genauso stark (relativ) wie die Grenzrate der Substitution in diesem Produktionspunkt.

Liebe Grüße

Mal ein konkretes Beispiel, bei dem ich Faktormengenverhältnisse und Grenzrate der Substitution und deren relative Änderungen zu Fuß ausrechne:


Cobb-Douglas-Produktionsfunktion x = r1^1/2 * r2^1/3

Wir betrachten den Produktionspunkt (r1 = 4, r2 = 27).

Die Produktionsmenge ist dort x = 4^1/2 * 27^1/3 = 2 * 3 = 6

Das Faktormengenverhältnis ist r1/r2 = 4/27

Berechnen wir die Grenzrate der Substitution S12 = -dr1/dr2:

x = r1^1/2 * r2^1/3

r^1/2 = x * r2^-1/3

r1 = x^2 * r2^-2/3

dr1/dr2 = -2/3 * x^2 * r2^-5/3 = - 2/3 * (r1^1/2 * r2^1/3)^2 * r2^-5/3 = -2/3 * r1/r2

Also: S12 = -dr1/dr2 = 2/3 * r1/r2

Im Produktionspunkt (r1 = 4, r2 = 27) ist also S12 = 2/3 * 4/27 = 8/81

Jetzt erhöhen wir S12 marginal um das 1,00003 fache, also auf 8/81 * 1,00003

Im dazugehörigen Produktionspunkt gilt dann:

S12 = 8/81 * 1,00003 = 2/3 * r1/r2

r1 = r2 * 8/81 * 3/2 * 1,00003 = r2 * 4/27 * 1,00003

x
= 6
= r1^1/2 * r2^1/3
= (r2 * 4/27 * 1,00003)^1/2 * r2^1/3
= r2^5/6 * (4/27 * 1,00003)^1/2

r2
= (6 / (4/27 * 1,00003)^1/2)^6/5
= (6 / (4/27 * 1,00003)^6/10

r1
= r2 * 4/27 * 1,00003
= (6 / (4/27 * 1,00003)^6/10) * 8/81 * 3/2 * 1,00003
= 6 * (4/27 * 1,00003)^4/10

Der Produktionspunkt, der zur um das 1,0003 fache erhöhten Grenzrate der Substitution gehört, lautet also

r1 = 6 * (4/27 * 1,00003)^4/10
r2 = 6 / (4/27 * 1,00003)^6/10

Das veränderte Faktoreinsatzmengenverhältnis ist :

r1/r2
= 6 * (4/27 * 1,00003)^4/10 / [6 / (4/27 * 1,00003)^6/10]
= 4/27 * 1,00003

Man erkennt: Das Faktormengenverhältnis r1/r2 (alt: 4/27; neu: 4/27 * 1,00003) hat sich ebenfalls um das 1,00003 fache erhöht.

Die Änderung der Grenzrate der Substitution und des Faktormengenverhältnis sind also gleichstark (Ver-1,00003-fachung)

Das erkennt man auch schon früher. Ich zitiere mich mal:

ChrissiLLB schrieb:

Jetzt erhöhen wir S12 marginal auf das 1,00003 fache, also auf 8/81 * 1,00003

Im dazugehörigen Produktionspunkt gilt dann:

S12 = 8/81 * 1,00003 = 2/3 * r1/r2

r1 = r2 * 8/81 * 3/2 * 1,00003 = r2 * 4/27 * 1,00003

Zum Vergrößern anklicken....

Jetzt kann man bereits r1/r2 berechnen und erhält:

r1/r2 = r2 * 4/27 * 1,00003 / r2 = 4/27 * 1,00003

D.h. das neue Faktormengenverhältnis ist das 1,00003-fache des alten (= 4/27).

So habe ich es im letzten Beitrag ja auch allgemein für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion hergeleitet:

ChrissiLLB schrieb:

Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist die Substitutionalitätselastizität also stets 1, d.h. das Faktormengenverhältnis in einem Produktionspunkt (r1, r2) ändert sich genauso stark (relativ) wie die Grenzrate der Substitution in diesem Produktionspunkt.

Zum Vergrößern anklicken....

Obacht: Im diesem Beispiel sieht man der Rechnung an, dass es egal ist, welchen Faktor man einsetzt (wir haben es mit 1,00003 gemacht), es kommt immer das gleiche Verhältnis heraus. Das liegt daran, dass bei Cobb-Douglas die Substitutionselastizität immer 1 ist. Wenn das nicht der Fall ist und die Substitutionselastizität sich von Produktionspunkt zu Produktionspunkt ändert, dann kommt man dem korrekten Ergebnis nur nahe. Und zwar umso näher, je kleiner die Änderung ist. Es handelt sich eben um eine Punktelastizität und das ist eine Grenzwertbetrachtung mit einer marginalen Änderung (also unendlich kleinen Änderung gegen 0).

Liebe Grüße