Rationale Erwartungen formale Struktur Seite 37 f

Da bin ich wieder 🙂

Thunfisch schrieb:

FRAGE 1
Was bedeutet "serielle Unkorreliertheit der Störterme"?

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Das heißt einfach nur, dass der Störterm Epsilon in jeder Periode irgendeinen Zufallswert annimmt. [tex]E(\epsilon)=0[/tex] heißt, dass niemand plant, einen Erwartungsfehler zu begehen.

Du kannst Dir das ungefähr so vorstellen: weil man ja rationale Erwartungen hat, wird alles, was man wissen kann, in die Erwartungsbildung einbezogen. Man hat die bestmögliche Planung und erwartet deshalb, dass alles auch so kommt. Du hast also das Abendessen mit Deiner Freundin genauestens geplant und erwartest einen reibungslosen Ablauf. Leider brennt die Pastasauce an – das ist ein unvorhergesehenes Ereignis, das den Ablauf durcheinanderbringt. Du hast [tex]E(\epsilon)=0[/tex], tatsächlich ist aber [tex]\epsilon\neq 0[/tex].

Die Störterme sind unkorreliert, weil die Störung nicht in die nächste Periode hineinreicht. Es heißt: neues Spiel, neues Glück. Für das nächste Treffen mit der Freundin macht Du keine Pasta.

Es ist natürlich auch denkbar, dass die Störung in die nächste Periode "hineinstrahlt": die Konjunkturdelle hat eine hohe Alo verursacht mit allen möglichen Folgen. Oder Deine Freundin ist sauer, weil Du ihr Lieblingsgericht verhunzt hast. Beim nächsten Treffen bist Du sehr unsicher und vermasselst alles. Dann wären die Störterme korreliert. Dies verkompliziert die Sache natürlich, und wird deshalb in der Regel nicht angenommen (außer im HS-Fach Geld & Kredit; formal hieße das dann [tex]\epsilon_{t+1}(\epsilon_t)[/tex]).

Thunfisch schrieb:

FRAGE 2
In Gleichung 2 (Konsistenz der Vorhersagen) ist das E(t)E(t+1) doch NICHT als Multiplikation zu deuten, sondern als zweimalige Anwendung des Erwartungswerts, oder?

Verbal wäre meine Interpretation: Der Erwartungswert in (t) für den Erwartungswert in (t+i) für die unsicheren Ereignisse in (t+i+j) ist gleich dem Erwartungswert in Periode (t).

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Ja, der Erwartungswert des Erwartungswertes ist der Erwartungswert. Die Rechenregeln für Erwartungswerte sind im Begleitkurs erläutert.

Thunfisch schrieb:

FRAGE 3
Mit Gleichung 3 (Kettenregel der Vorhersage) stehe ich noch etwas auf Kriegsfuß.

Ich interpretiere sie so:
Erwartungswert in (t) für x in (t+1) hat den Wert a*x(t), übernimmt also den x-Wert in Periode (t) in die folgende Periode.

Erwartungswert für E(x(t+2)) [warum fehlt der Zeitindex bei E?] ist gleich dem tatsächlichen Wert von x in Periode (t+1) multipliziert mit a.

Das a ziehe ich aus der Klammer raus, weil es eine Konstante ist (?). Für x(t+1) setze ich a*x(t) ein, ziehe das a wieder raus und habe so das a^2.

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Genau. Siehe die Rechenregeln im Begleitkurs.

Thunfisch schrieb:

Wofür ist das gut (außer Rechenakrobatik)?

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Der Umgang mit Erwartungswerten ist nötig, um GG-Werte für Inflation und Output unter verschiedenen Politikregimen errechnen zu können. Das kommt in kapitel 2.

Was würde ich in AVWL nur ohne Dich machen 😉

Vielen Dank!

Und wenn bei der nächsten Pasta was schief geht, schiebe ich es auf den Störterm. Diese Ausrede wird sicher sofort akzeptiert 😉

Gruß, Thunfisch

Hier gehts um bedingte Erwartungen (=bester Prädiktor bzw. beste Prognose).

FRAGE 1
Was bedeutet "serielle Unkorreliertheit der Störterme"?

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Das bedeutet, dass die Störterme paarweise unkorreliert sind, d.h. [tex]Cov(\epsilon_t, \epsilon_{t-i})=0[/tex] für sämtliche Indexpaare [tex]t, t-i (i\ne 0)[/tex].
Das heißt nicht, dass keine Abhängkeiten zwischen den Störungen vorliegen können: lineare Anhängigkeiten sind dadurch ausgeschlossen, nichtlineare dagegen nicht (dahinter steht die Interpretation der Kovarianz zweier zufallsvaraibeln).
Die Schreibweise im Buch ist falsch. Entweder wie oben oder [tex]E(\epsilon_t \cdot \epsilon_{t-i})=0[/tex]
Aussage 1 besagt, dass die Störungen Erwartungswert Null haben und unkorreliert sind (die Störungen selber sind natürlich i.a. verschieden von Null! Sonst wären es ja keine Störungen 🙂).
Wenn man die Gleichung im Buch
[tex]\epsilon_t= x_t-E_{t-i}(x_t)[/tex] umschreibt:
[tex]x_t = E_{t-i}(x_t)+ \epsilon_t[/tex] dann gilt
Beobachtung zum Zeitpunkt t = Beste Prognose (gegeben Information in t-i) + Störung

FRAGE 2
In Gleichung 2 (Konsistenz der Vorhersagen) ist das E(t)E(t+1) doch NICHT als Multiplikation zu deuten, sondern als zweimalige Anwendung des Erwartungswerts, oder?

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Das ist der satz über iterierte Erwartungen. Da geht es um die bedingte Erwartung einer bedingten Erwartung. Ergebnis ist wieder eine bedingte erwartung und zwar diejenige mit dem früheren Zeitpunkt!

FRAGE 3
Mit Gleichung 3 (Kettenregel der Vorhersage) stehe ich noch etwas auf Kriegsfuß.

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Tippfehler: Zeitindex fehlt beim ersten Erwartungswert.
[tex]E_t(x_{t+2})=E_t(E_{t+1}(x_{t+2}))[/tex] (Satz über iterierte Erwartungen)

[tex]=E_t(ax_{t+1})=aE_t(x_{t+1})=a^2x_t[/tex]
d.h. also, wenn zum Zeitpunkt t die beste Prognose für [tex]x_{t+1}[/tex] gleich dem a-fachen des aktuellen Werts [tex]x_{t}[/tex] ist, dann folgt:
die beste Prognose in t für [tex]x_{t+2}[/tex] ist gleich [tex]a^2x_t[/tex]

Ivanhoe,

danke für Deine sinnvollen und vor allem geistreichen Ergänzungen!

Bin leider erst jetzt dazu gekommen, sie durchzuarbeiten.

Tipp- und andere Fehler im Stabi-Buch finde ich ja mehr als ärgerlich.

Gruß und Dank!
Thunfisch