Scmidtsche Orthonormalisierung

Kyrene,

hier ein Versuch...

ein ^ soll symbolisieren, dass die Ziffer oder der Buchstabe danach hochgestellt ist!

Gegeben sei eine beliebige Basis a^1, a², a^n des R^n

Den ersten Vektor der orthonormalisierten Basis (u^1) erhälst du, indem du a^1 normalisierst:

u^1 = a^1 / IIaII

Den zweiten Vektor u^2 erhälst du wie folgt:
Zunächst mit
v² = a² - alpha1 * u^1
einen zu u^1 orthogonalen Vektor berechnen.
a² ist gegeben, u^1 hast du eben berechnet, fehlt der Wert für alpha1

alpha1 muss so gewählt werden, dass u^1T*v^2 gleich Null ist.
(Skalarprodukt zweier Vektoren = Null --> Vektoren stehen orthogonal zueinander)

alpha1 = u^1T * a² das setzt du oben in die Formel ein und erhälst

die Formel, die du zukünftig benutzt um v² zu berechnen, denn alles, was hier farbig ist, soll nur dem Verständnis dienen.

v²= a² - (u^1T * a²) * u^1

v² ist schon orthogonal zu u^1, aber nicht normiert, also noch durch seine Länge teilen und du erhälst u²

u² = v² / IIv²II

Den dritten Vektor erhälst du, in dem du an die Formel oben noch etwas anhängst:

v³ = a³ - (u^1T * a³) * u^1 - (u²T * a³) * u²

wieder hast du damit einen orthogonalen Vektor erhalten aber noch keinen normierten, somit muss v³ auch durch seine Länge geteilt werden:
u³ = v³ / IIv³II

Für eine Basis des R³ wärst du hier fertig!

Für eine Basis des R^n musst du für jeden weiteren Vektor ein Glied an die Formel oben anhängen, ausrechnen, Vektor normieren,.....

Allgemein ausgedrückt heißt das dann so:

v^r = a^r - Summe (für i=1 bis r-1): (u^iT * a^r)* u^i

... ich weiß nicht, ob dir das wirklich hilft, weil schon die Formeln so komisch aussehen ohne Formelgenerator...

Viele Grüße, Tanja

Tanja2,
:dankescho ich hab's doch tatsächlich kapiert!
Ich habe alles mitgeschrieben, ist gar nich mal so unlogisch...
Ich bin zwar noch nicht so ganz dahineter gekommen, wozu man das berechnen muss, aber das spielt ja meistens eh keine Rolle.
Nochmals viiiiiiieeeeelen Dank!
LG
Kyrene

Ich würde mich auch freuen, wenn mal jemand ein konkretes Beispiel einspielt, in dem die gewonnene orthonormalisierte Basis für irgendwas verwendet wird.

Dann kommt da für mich mehr Leben rein...

kann mal bitte jemand von den Leuten, die die neuen Matheunterlagen haben, sagen, ob die Schmidtsche Orthonormalisierung noch Kursinhalt ist. Hab nur die alten Unterlagen und bin am Ueberlegen, ob ich mir das nochmal anschau oder nicht.

Vielen Dank! Caro