Steuerfinanzierte Staatsausgabenerhöhung (dT = dG)

Mario Horstmann schrieb:

Mein Ansatz:
Gesucht ist dY bzw. dY/dT:
SY * dY + ST * dT = dI + dG - dT
SY * dY + ST * dT = 0
SY * dY= - ST * dT

dY/dT = - ST/SY


Richtig oder nicht richtig - das ist hier die Frage!

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Hallo Mario,

obacht, Dein totales Differential von S(Y-T) ist falsch. Ich mache das so:

Ausgangsgleichung: S(Y-T) = I + G - T

Totales Differential: S[Y-T] * dY - S[Y-T] * dT = dI + dG - dT

Mit dI = 0 und dG = dT (steuerfinanzierte Staatsausgabenerhöhung):

S[Y-T] * dY - S[Y-T] * dT = 0

dY = dT = dG

Also: dY/dG = dY/dT = 1

Das Volkseinkommen Y erhöht sich um exakt die steuerfinanzierte Staatsausgabenerhöhung. Allerdings bleibt das verfügbare Einkommen (konsumierbares Einkommen) Y - T unverändert, da sich die Steuer um denselben Betrag erhöht.

Siehe auch: Haavelmo-Theorem

Liebe Grüße

Interessant:
Der Wert 1 soll nach Musterlösung falsch sein. Hatte 1 auch erst raus.

Warum um alles in der Welt ist mein totales Differential falsch?
S ist eine Funktion, die von Y und T abhängt. Anstatt S(Y-T) könnte man auch S(Y, T) schreiben - das ist nicht verboten.
Das totale Differential von S(Y, T) wäre dann S[Y] * dY + S[T] * dT, wobei wir wissen, dass S[Y] > 0 und S[T] < 0.
Das soll falsch sein?

Man schaue sich mal S(Y-T) = s*(Y-T) + 10 an.

Meine Variante
S(Y-T) = s * (Y-T) + 10 = sY - sT + 10 = S(Y, T)
dS(Y, T) = S[Y] * dY + S[T] * dT = s * dY - s * dT = s (dY - dT)

Deine Variante:
S(Y-T) = s * (Y-T) + 10
S[Y-T] = s
Jetzt bildest du das totale Differential so: S[Y-T] * dY - S[Y-T] * dT = s*dY - s*dT = s * (dY-dT),
was genau deckungsgleich ist mit meiner Variante.

Aber wo liegt hier genau der Haken?

Ich denke wir müssen zeigen, dass |S[T]| = |S[Y]|, also die Beträge der partiellen Änderungsraten der Ersparnis gleich sind, wenn eine Funktion der Form S(Y, T) in der Form S(Y-T) geschrieben werden kann, also man eine Substitution der Form z = Y-T vornehmen kann, bei der sich S(Y, T) als S(z) schreiben lässt. Genau dann stimmt meine Variante mit Deiner überein.
Ein mathematisches Problem also.

AAAber hier kommt eine vielleicht simple Erklärung:
Jede "Ausgangsfunktion" S(Y-T) lässt sich darstellen als S(Y, T), wobei dann gilt, dass |S[Y]| = |S[T]|.
Aber nicht jede "Ausgangsfunktion" der Form S(Y, T) lässt sich über z = Y-T darstellen als S(z), sodass dann |S[Y]| ungleich |S[T]| gilt.

Wow.

Beispiel:
S(Y, T) = ln (Y) - T. Eine witzige Funktion.

dS = S[Y] * dY + S[T] * dT = dY/Y - dT

Auffällig war, dass in der totalen Ableitung (dY-dT) auftauchte - dies lässt sich aber hier nicht machen.
Hier kommt man mit z = Y-T nicht weit.

Scheinbar kennt der Lehrstuhl eine Funktion, bei der das gelingt.

Ich denke, ich schreibe den Lehrstuhl mal an. War wieder sehr fruchtbar hier.

Meine Variante war also nicht einfach falsch! Ich habe nur die Implikation, dass wenn S(Y-T) gegeben ist, automatisch die partiellen Ableitungen in ihren Beträgen übereinstimmen nicht bedacht.
Da sieht man, wozu Mathe gut ist. Nur zu blöd, dass im FernUni Matheskript sowas nirgends auftaucht, wenn ich mich richtig erinnere. Krasse Sache, das.

Mario Horstmann schrieb:

Der Wert 1 soll nach Musterlösung falsch sein. Hatte 1 auch erst raus.

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In der Klausur 03/2009 Aufgabe 2d) lautet die richtige Lösung dG (dT). Beachte, dass nicht nach dem Multiplikator dY/dG gefragt ist, sondern nach dem Betrag |dY| der Einkommenssteigerung. Das Einkommmen Y erhöht sich um dY = dG > 0.

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

In 03/2009 Aufgabe 2d) lautet die richtige Lösung dG (dT). Beachte, dass nicht nach dem Multiplikator dY/dG gefragt ist, sondern nach dem Betrag der Einkommenssteigerung. Das Einkommmen Y erhöht sich um dG.

Liebe Grüße
Chrissi

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Ja, das ist dann die logische Schlussfolgerung.
S[Y-T] * dY - S[Y-T] * dT = 0
dY = dT = dG

// edit //

Lehrstuhl also doch nicht anschreiben.

Aber gut, dass wir mal wieder drüber gesprochen haben.
Heiligsblechle.

Mario Horstmann schrieb:

Im Zusammenhang mit dieser Aufgabe 2 ist übrigens noch interessant, dass im Diagramm der Sparfunktion auf der Abszisse manchmal nur Y steht, aber manchmal auch Y-T. Steht dort nur Y, so verschiebt sich bei einer Erhöhung von T die S-Kurve (hier: S = S(Y-T)) um den Betrag T nach unten.

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Im "Y-T"-Fall ist T endogen und eine Änderung von T spiegelt sich in einer "Wanderung" entlang der Kurve wider. Im "Y"-Fall ist T exogen (Lageparameter) und eine Änderung von T führt zu einer Verschiebung der Kurve.

Liebe Grüße

Ja, völlig richtig. Trotzdem nochmal danke für das Feedback!