Vektoren / lineare Abhängigkeit

hoffe ihr könnt mir helfen. Habe leichte Schwierigkeiten mit den Vektoren / lineare Abhängigkeit.
Ich gebe euch mal ein Beispiel.

Ich habe 3 Vektoren die linear abhängig sind.
a = (3, 2, 1)
b = (13, -2, -7)
c = (-2, 4, 5)

b = 3a -2c (geschlossenes Kräftedreieck)

Soweit, sogut. Nun kommt mein Knackpunkt.

Jetzt steht im Dösam:
Die Vektoren a, b, c sind genau dann komplanar (linear abhängig), wenn die Gleichung a+b+c=0, (die Faktoren habe ich weggelassen, triviale Lösung ist natürlich möglich), eine andere Lösung als die Triviallösung hat.

Wenn ich die Vektoren jetzt aber entsprechend in diese Bedingung einsetze, wird die Bedingung ungleich Null, obwohl ich weiß, dass sie ja eigentlich linear abhängig sein müssten.
Wo liegt denn mein Denkfehler??

Michael

Michael, kämpfe mich auch gerade durch die Vektoren durch. Wenn ich die Vektoren in b = 3a -2c einsetze, dann siehts bei mir so aus: (13, -2, -7) = (9, 6,3) - (-4, 8, 10) und wenn ich dann die Werte auf der rechten Seite ausrechne, dann steht da genau das gleiche wie links. Also müsste die Bedingung =0 ja erfüllt sein. Vielleicht bist du über 9 - (-4) gestolpert ? Hoffe ich konnte dir weiterhelfen! Befinde mich auch noch in den Anfängen, genauer gesagt davor..... es fängt ja offiziell erst noch an ! Grüße

Hallo Eliasm,
danke für deine schnelle Antwort, jetzt kommt mein aber..🙂.
Mein Problem ist nicht die Gleichung b=3a-2c. Sie dient nur als Nachweis, dass die Vektoren linear abhängig sind.
Ich stolpere über den Satz aus dem Dörsam.

Die Vektoren a, b, c sind genau dann komplanar (linear abhängig), wenn die Gleichung a+b+c=0, (die Faktoren habe ich weggelassen, triviale Lösung ist natürlich möglich), eine andere Lösung als die Triviallösung hat.

Warum kommt hier, wenn ich die Vektoren einsetze ein Ergebnis ungleich Null heraus. Nach meinem Verständnis würde das bedeuten, wir hätten nur eine triviale Lösung und die Vektoren wären damit linear unabhängig.

Michael

Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, ich verlass mich drauf, dass b = 3a-2c stimmt. Wenn das so ist, dann ist (umgestellt) 3a - b - 2c = 0. Die Koeffizienten sind 3, -1 und -2, also nicht alle Null, d.h. es gibt eine nicht-triviale Lösung von [tex]a_1 a + a_2 b + a_3 c = 0[/tex], also sind sie linear abhängig.

jetzt stehe ich völlig auf dem Schlauch.

In die Bedingung nach Dörsam würde ich einsetzen.

a1a+a2b+a3c=0 und wenn ich dann die Vektoren entsprechend einsetze,a1, a2 a3 ungleich 0, kommt ja ebend nicht null heraus.

3a-b-2c=0 kenne ich ja nur aus der Vektorenaddition. Muß ich die denn jedesmal durchführen.

Ich wollte das Problem wie folgt lösen.
1.

Ich weiß nicht, was du da einsetzt, aber wenn du 3a - b - 2c rechnest kommt 0 raus. Kannst auch 6a - 2b - 4c rechnen wenn du Lust hast, es gibt unendlich viele Lösungen. Entscheidend ist, dass es nicht nur die triviale Lösung gibt.

Sorry, jetzt bin ich auf die Taste gefallen. Wollte schreiben:
Ich nehme die Vektoren a,b,c so wie sie sind und rechne mit ihnen diese Bedingung a1a+a2b+a3c=0 aus.
In meinem Beispiel würde das immer ungleich Null sein. Es sei denn, Ich hätte mir das Kräftedreieck gebildet und wüßte das b=3a-2c ist.
Ich weiß einfach nicht wie ich von b=3a-2c (Vektorenaddition) auf 3a+2c+b=0 (Dörsam) komme

mifri58 schrieb:

Ich nehme die Vektoren a,b,c so wie sie sind und rechne mit ihnen diese Bedingung a1a+a2b+a3c=0 aus.

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Wie denn, ohne die Werte für a1..a3 zu kennen?

Nochmal die Bedingung: Die Vektoren a,b,c sind genau dann linear abhängig, wenn es eine nicht-triviale Lösung von [tex]a_1 a + a_2 b + a_3 c = 0[/tex] gibt.

Normalerweise heißt das, dass man versuchen muss, diese Lösungen zu finden. Du hast das anscheinend geometrisch gemacht (jedenfalls interpretiere ich das mit dem Kräftedreieck so), und es kam [tex]a_1 = 3, a_2 = -1, a_3 = -2[/tex] raus. Damit haben wir eine nicht-triviale Lösung und die Erkenntnis, dass die Vektoren linear abhängig sind.

(Das hätte man normalerweise schon beim Zeichnen des Dreiecks gewusst, denn "komplanar" heißt ja nichts anderes, als dass die Vektoren sich in einer Ebene zu Null kombinieren lassen.)

Man muss diese Lösung nicht unbedingt explizit ausrechnen, man kann auch die Vektoren in eine Matrix schreiben und die Determinante ausrechnen, aber das nur am Rande.

Ich weiß einfach nicht wie ich von b=3a-2c (Vektorenaddition) auf 3a+2c+b=0 (Dörsam) komme

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Die zweite Gleichung ist einfach falsch. Wenn du die erste umstellst, kommst du auf 3a - b - 2c = 0.

vielen Dank für deine Hilfe. Du hast mir auf die Sprünge geholfen.
Ich muß natürlich a1,a2,a3 mit berücksichtigen. Ich habe immer nur versucht mit den Ausgangsvektoren die Bedingung zu erfüllen.
Manchmal ist das Brett vorm Kopf aber auch meterdick!!!!!

Michael