Wann größer, wann kleiner 0 ???

Setz einfach Zahlen ein. Ansonsten gelten die Vorzeichenregeln für Brüche: Ein Minuszeichen im Zähler oder Nenner kannst du vor den Bruch schreiben. Sind Zähler und Nenner negativ, ist der gesamte Bruch positiv usw.

Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel: Der Multiplikator dY/dG im IS-LM-Diagramm.

Die Gleichungen lauten:
M = P*L(Y,i)
S(Y-T) = I(i) +G - T

total differenziert und gekürzt:
0 = Ly *dY + Li * di
Sy * dY = Ii * di + dG

die erste Gleichung wird nach di umgestellt:
di = - Ly/Li *dY

und in die zweite Gleichung eingesetzt:
Sy * dY = Ii * [- Ly/Li *dY] + dG

daraus wird dann:
Sy * dY = - Ii*Ly/Li *dY + dG

anschließend den rechten Teil mit dY nach links rüberbringen (durch Addition)
Sy * dY + Ii*Ly/Li *dY = dG

=> und dY ausklammern:
(Sy + Ii*Ly/Li) *dY = dG

einmal quer multiplizieren und fertig ist der Mulitplikator:
dY/dG = 1 / (Sy + Ii*Ly/Li)

so und nun zur Vorzeichenbestimmung:

Sy, Ly > 0 > Ii , Li)
(Sy + Ii*Ly/Li)
+ + -*+/-

verbal: Sy ist positiv - Ii negativ und Ly positiv - somit ist das Produkt aus Ii und Ly negativ - wenn man dieses negative Produkt duch Li (negativ) teilt, ist das Ergebnis wieder positiv und somit ist die Gesamtklammer unter dem Bruchstrich positiv und damit der gesamte Bruch positiv.

Aber eigentlich gefällt mir der Multiplikator so nicht und ich erweitere mit dem Bruch Li/Li. Somit ergibt sich:
dY/dG = Li / (Sy*Li + Ii*Ly)

dann ist das Vorzeichen noch einfacher. Der Zähler ist negativ und in beiden Produkten des Nenners habe ich einen positiven und einen negativen Wert multipliziert. Somit wird auch der Nenner negativ und der Gesamtbruch wieder positiv.

Einfach mal üben.


übrigens:
di = - Ly/Li *dY {hatten wir oben schon}

nun nehme man den oben berechneten Multiplikator (etwas umgeformt):
dY = Li / (Sy*Li + Ii*Ly) * dG

und setze dY in di ein:
di = - Ly/Li *[Li / (Sy*Li + Ii*Ly) * dG]

da sich Li rauskürzt und der Nenner im Mulitplikator durch -Ly ersetzt wird, ergibt sich:
di = - Ly / (Sy*Li + Ii*Ly) * dG

und der Multiplikator:

di/dG = - Ly / (Sy*Li + Ii*Ly)

Vorzeichen: Ly positiv, der Nenner negativ (hatten wir gerade), durch das Minus davor wird der Gesamtmultiplikator wieder positiv.

Alles klar?

Gruß,
DVR

Sehr gut erklärt, hätte mir viel Zeit erspart beim Lernen.