Wann ist eine Funktion konkav und wann ist sie konvex?

Ok, es scheint zu klappen mit dem hochladen der Datei...


Ich "rühme" mich immer, nicht so gut in Mathe zu sein und dafür die Dinge leiber auswendig zu lernen.
Ob das so gut ist, sei dahingestellt.

Ich kann leider mit den Begriffen konkav und konvex bisher nur so viel anfangen;
ich habe mir bislang immer gemerkt, dass etwas, was konvex ist, nach außen gekrümmt ist (z.B. eine Kaffeekanne) und etwas, was konkav ist, nach innen gekrümmt ist, (zB der Sockel von einem Pokal).

Leider komme ich so nicht weiter, wenn ich mir die 4 unterschiedlichen verläufe der Funktionen anschaue, die ich als Grafik angehängt habe.


1. Frage:
Woran erkenne ich an einer Grafik, ob der Graph konvex oder konkav ist?

(SIEHE ANHANG)

2.) Frage:
Ist es richtig, dass ich mathematisch sehen kann, ob eine Funktion einen konvexen oder konkaven Verlauf hat, indem ich die 1te und 2te Ableitung bilde?

Konkav ist der Rücken vom Schaf

also B und D?

RISCHHTISCH *G Das ist auch der einzige Satz, mit dem ich mir das merken kann.

Wie kann ich denn rechnerisch bestimmen, wann eine Funktion konkav oder konvesx ist? Wie geht das mit den Ableitungen?

Konvex heisst, dass zwei Punkte auf dem Graphen durch eine Verbindungslinie oberhalb des Graphen verbunden werden können.
Konkav, dass die Verbindungslinie unterhalb des Graphen liegt.

es ist mathematisch ganz einfach zu berechen.

Ist die zweite Ableitung der Funktion positiv, ist die Funktion konvex,

ist die zweite Ableitung negativ, ist sie konkav,

ist die zweite Ableitung = 0, ist es eine lineare Funktion.

Kleines Beispiel: wenn die Funktion lautet: x^2, ist die 1. Ableitung 2x und die zweite Ableitung gleich 2. Da zwei positiv ist, ist die Funktion konvex!!!

Hoffe Dir geholfen zu haben...

walli84

Meine Methode geht so:
Nimm bitte die Graphen von Abbildung A und C und füge sie zusammen.
So daß quasi eine Schale entsteht.Dann schreibe dort hinein die
Buchstaben k o n e x .
Und wenn Du dann das v noch findest weißt Du,wie Du in Zukunft
das Wort konvex schreiben mußt.

Also, A konvex, B konkav, C konvex, D konkav. Wenn die "Beine" einer Parabel,nach oben schaeuen, sie ist konvex🙂, wenn nach unten, sie ist konkav🙁.

Konkav ist der rücken vom schaf
konvex der bauch vom rex

Konkav ist der rücken vom schaf
konvex der bauch vom rex

Sehr schön, mit diesem Spruch werde ich nie wieder Konkav und Konvex verwechseln...

Unser Mentor hatte dazu auch eine tolle Idee:

Er hat sich vor seine Schäfchen hingestellt und gesagt: "konkaaaaaaaav", dabei die Mundwinkel hängen lassen wie Angela Merkel in ihren schlechtesten Tagen und danach noch einen Ärger-Smiley an die Tafel gemalt. 😡

Anschliessen kam "konvexxxxxxxxxx", die Mundwinkel bis zum Ohrenansatz hochgezogen und ein Grinse-Smiley an der Tafel. 🙂

Seit diesem Moment der Erleuchting hatte ich nie mehr ein Problem damit.

super! schaf und rex, das hilft mir weiter...es gibt allerdings eine funktion wo das NICHT funktioniert!! f(x)= 1/x
wenn ihr 1/x in googel eintippt bekommt ihr sofort den grafen dazu.
ich sehe sowohl rexs´bauch als auch den rücken vom schaf. verbinde ich zwei punkte auf den grafen im positiven und auch im negativen bereich, so ist die funtion einmal unter und einmal über der verbindungslinie.
die funktion ist aber nicht sowohl konvex als auch konkav sondern AUSSCHLIEßLICH KONVEX!! - wo ist also der fehler?

die einzige erklärung ist, dass die 2. Ableitung 2x^(-3) positiv ist, somit konvex.

NOCHWAS viel mir auf bei linearen funktionen, da ist ja die 2.Ableitung wie gesagt immer "0"
definition konkarv 2. Abl <=0 ; konvex 2. Abl >=0 (betonung hier auf "=" )
somit ist eine lineare funktion immer sowohl konkav als auch konvex!