Was bedeutet Rg (A|b)?

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Flubber

Dr Franke Ghostwriter
habe eigentlich "nur" eine kurze und knappe Frage 🙂 :

Was bedeutet "Rg (A|b)"?

Bin da im Zuge der Lösbarkeitskriterien von linearen Gleichungssystemen drauf gestoßen. Und dass ein Gleichungssystem immer (eindeutig oder mehrdeutig) lösbar ist, wenn u.a. der Rg A = Rg (A|b) ist.

Habe mir noch dazu aufgeschrieben:
"Rg (A|b) = Kann im Endtablaeu auf der rechten Seite ein Pivotelement gewählt werden?"

Aber irgendwie verstehe ich das heute nicht mehr...:confused
 
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du hast folgendes Gleichungssystem (sauge mir mal eins aus den Fingern - wird somit auch nicht lösbar sein 😉)

x1 + 5x2 -3x5 = 7
x1 + 7x2 -25x3 = 8
5x1 -2x2 + 7x3 =25
7x1 +7x2 -4x3 = 9

jetzt schreibst du das in eine Matrix und ermittelst z.B. durch Pivotisieren den Rang

Rang A ist die Anzahl der Einheitsvektoren der Spalten x1 bis x3
Rang A/B ist die Anzahl der Einheitsvektoren der Spalten x1 bis b (b ist die Spalte nach dem =)

homogene Gleichungssysteme
Eindeutig lösbar Rg A = Rg A/b und keine freie Variable im Endtableau
mehrdeutig lösbar Rg A = Rg A/b und mindestens eine freie Variable

inhomogene Gleichungssysteme
Eindeutig lösbar Rg A = Rg A/b und keine freie Variable im Endtableau
mehrdeutig lösbar Rg A = Rg A/b und mindestens eine freie Variable
nicht lösbar Rg A < Rg A/b
 
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Dankeschön. Prinzipiell habe ich das jetzt verstanden. 🙂

Aber ich habe in meinen Aufzeichnung vom Mentoriat folgendes Beispiel:

0,5x1 + 1x2 = 4
0x1 + 0x2 = 4

Darunter steht, dass der RgA < Rg A|b, nämlich 1 < 2.

Klar ist, dass x2 eine BV ist und der Rang A deshalb 1. Aber unter b steht doch garkeine BV, wieso ist der Rang A|b dann 2?
Habe ich dich vllt doch nicht richtig verstanden oder ist das bei mir falsch notiert? :confused
 
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Deine Ränge sind richtig notiert.
Was heißt den BV?

A ist
0,5 1
0 0
und hat den Rang 1

A|b ist
0,5 1 4
0 0 4
Hat den Rang 2. Wenn du noch einen Einheitsvektor haben möchtest kannst du die zweite Zeile durch 4 Teilen
0,5 1 4
0 0 1
Und dann die 1. Zeile minus 4 mal die 2. Zeile nehmen und erhälst
0,5 1 0
0 0 1
 
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BV = Basisvariable = Spalte mit Einheitsvektor.

Das A den Rang 1 hat verstehe ich ja aufgrund des Einhietsvektors.


Nach der Umformung wird mir dann auch klar, weshalb A|b den Rang 2 hat.
Aber ich verstehe nicht, was du da für ne Umformung gemacht hast, um unter b auch noch nen Einheitsvektor zu erzeugen. Wir haben nie einfach irgendwie umgeformt, um Einheitsvektoren zu erzeugen. Wir haben immer nur Gauß gerechnet. Und der geht ja anders als du da umgeformt hast...
Ist das ne andere Methode, die im Skript auftaucht oder wie?
 
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Ich habe Mathe vor einem Jahr geschrieben und die Skripte habe ich nicht mehr.
Aber du hast ja bestimmte Operationen die du auf eine Matrix loslassen kannst, das teilen multiplizieren, addieren, subtrahieren von Zeilen. Was anderes machst du beim Gauß-Algorithmus ja auch nicht, nur in einer bestimmten Reihenfolge.
 
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Mit dem Gauß hätte es doch dann aber genauso funktionieren müssen, oder?
Also egal, ob ich die "bestimmten Operationen" vornehme oder Gauß rechne - das Ergebnis sollte dasselbe sein!?

Muss halt sagen, dass ich da absolut nicht durchblicke bei dem, was du gemacht hast. Würde mich lieber auf den Gauß verlassen, wenn der genauso angewendet werden kann. Der sitzt wenigstens....
 
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Naja das Gleichungssystem ist dann mehrdeutig lösbar.

Mal angenommen du hast
x1+x2+x3=5
2x1+x2+x3=2
Dann ist deine Matrix A
1 1 1
2 1 1
dein b ist
5
2

Jetzt würdest du dieses System
1 1 1 5
2 1 1 2
umformen.
Als die 2. Zeile minus 2x1.Zeile
1 1 1 5
0 -1 -1 -8
Dann die zweite Zeile mit minus 1 multiplizieren
1 1 1 5
0 1 1 8
Die erste Zeile minus die zweite
1 0 0 -3
0 1 1 8

So welchen Rang hat jetzt die Matrix A? und welchen Rang hat das Gleichungssystem A|b?


Zur Matrix die ich oben genannt habe
5 4
0 1
10 7
Dort erhälst du nach Umformungen (kein Endtableau)
5 4
0 1
0 1
bzw.
1 0,8
0 1
0 1
Und welchen Rang hat die Matrix?
 
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Es ist dann mehrdeutig lösbar, aber deshalb kann ich doch trotzdem auch mit Gauß bei einer nicht-quadratischen Matrix den Rang bestimmen, oder?

Deine erste Matrix hätte für mich den Rang 2, da sie zwei unterschiedliche Einheitsvektoren hat. Das Gleichungssystem ebenfalls Rg 2.
Die zweite Matrix hätte für mich den Rang 1.

Aber du hast ja jetzt wieder deine Umformung und nicht den Gauß angewendet...
 
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Ich glaub' ich wahr bei Gauß-Jordan und Inversen das gilt dann nur für quadratische Matrizen.


Genau im ersten Fall hat sowohl die Matrix A, als auch das Gleichungssystem den Rg 2 somit ist 2=2 mehrdeutig lösbar.
Die letzte Matrix hatte ich nicht im Endtableau hingeschrieben, hat aber den Rang 2.

Der schnellere Weg wäre die Matrix in Stufenform zu bringen und dann die l.u. Vekotren zu zählen. Da man sich manche Rechnungen spart, die man machen muss wenn man Einheitsvekotren haben möchte. Wenn das für der sicherere Weg ist, kannst du ja auch alles versuchen in Einheitsvektoren zu überführen.
 
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Also Inversen gibt es nur bei quadratischen Matrizen, das stimmt.
Gauß funktioniert meiner Meinung nach immer.

Ich verstehe halt einfach nicht, wie du da immer umformst. Nach welchen Regeln und überhaupt. Deswegen bringt mir das recht wenig.

Und ich bin davon ausgegangen, dass die zweite Matrix im Endtableau da stand. Wie ich es der Matrix von dir, die ja wohl noch nicht im Endtableau war, ansehe, welchen Rang sie hat, weiß ich nämlich schon wieder nicht.^^

Aber da Gauß immer funktioniert und ich dann einfach nur die Einheitsvektoren zählen muss, passt das ja.
 
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Flubber schrieb:
Ich verstehe halt einfach nicht, wie du da immer umformst. Nach welchen Regeln und überhaupt. Deswegen bringt mir das recht wenig.
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Es gibt drei elementare Zeilentransformationen:
1) zwei Zeilen vertauschen
2) eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren
3) ein Vielfaches einer Zeile auf eine andere Zeile addieren

Solange man diese Operationen in beliebiger Reihenfolge auf beiden Seiten eines Gleichungssystems anwendet, bleibt die Lösungsmenge gleich. Der Gauss-Algorithmus beruht auch nur auf diesen Operationen, wobei er aber eine Reihenfolge vorgibt, so dass man nach und nach die Koeffizientenmatrix in eine Treppenform umwandelt.

Aber da Gauß immer funktioniert und ich dann einfach nur die Einheitsvektoren zählen muss, passt das ja.
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Es gibt zwei Formen des Gauss-Algorithmus': Der eigentliche Gauss-Algorithmus erzeugt eine Treppenform. Das reicht, um den Rang abzulesen (= Anzahl der Treppenstufen). Es gibt noch den Gauss-Jordan-Algorithmus, der erzeugt eine Treppennormalform, d.h. die Spalten der Treppenstufen sind Einheitsvektoren. Die hat zusätzlich den Vorteil, dass man die Lösung mehr oder weniger direkt ablesen kann und nicht erst dieses Rückwärtseinsetzen machen muss, bringt aber in Bezug auf die Bestimmung des Ranges nichts, macht nur mehr Aufwand.
 
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chris* schrieb:
Es gibt drei elementare Zeilentransformationen:
1) zwei Zeilen vertauschen
2) eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren
3) ein Vielfaches einer Zeile auf eine andere Zeile addieren

Solange man diese Operationen in beliebiger Reihenfolge auf beiden Seiten eines Gleichungssystems anwendet, bleibt die Lösungsmenge gleich. Der Gauss-Algorithmus beruht auch nur auf diesen Operationen, wobei er aber eine Reihenfolge vorgibt, so dass man nach und nach die Koeffizientenmatrix in eine Treppenform umwandelt.
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Danke, jetzt verstehe ich die Umformungen endlich. Wundert mich nur, dass wir das nie hatten im Mentoriat. Steht denn davon etwas im Skript?

Es gibt zwei Formen des Gauss-Algorithmus': Der eigentliche Gauss-Algorithmus erzeugt eine Treppenform. Das reicht, um den Rang abzulesen (= Anzahl der Treppenstufen). Es gibt noch den Gauss-Jordan-Algorithmus, der erzeugt eine Treppennormalform, d.h. die Spalten der Treppenstufen sind Einheitsvektoren. Die hat zusätzlich den Vorteil, dass man die Lösung mehr oder weniger direkt ablesen kann und nicht erst dieses Rückwärtseinsetzen machen muss, bringt aber in Bezug auf die Bestimmung des Ranges nichts, macht nur mehr Aufwand.
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Verstehe das mit den Treppenstufen nicht so ganz. Und ich habe bisher nur was von Gauss gehört - nie von Jordan. Kann mich auch nicht dran erinnern, dass davon etwas im Skript steht?!
Aber wenn wir Gauss gemacht haben, dann hat das auch immer dazu geführt, dass wir die Lösung ablesen konnten....es gab ne allgemine Lösung, ne Basis Lösung und irgendeine x-beliebige Lösung.
 
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Flubber schrieb:
Danke, jetzt verstehe ich die Umformungen endlich. Wundert mich nur, dass wir das nie hatten im Mentoriat. Steht denn davon etwas im Skript?
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Weiß ich nicht, ich kenne euer Script nicht. Ich sag nur wie es ist -- Mathematik unterliegt ja zum Glück nur sehr begrenzt der persönlichen Interpretationsfreiheit 🙂

Aber wenn wir Gauss gemacht haben, dann hat das auch immer dazu geführt, dass wir die Lösung ablesen konnten....es gab ne allgemine Lösung, ne Basis Lösung und irgendeine x-beliebige Lösung.
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OK, dann habt ihr anscheinend den Gauss-Jordan-Algorithmus Gauss-Algorithmus genannt.
 
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Ich will das mal wieder aufgreifen.

Monique79 schrieb:
Rang A ist die Anzahl der Einheitsvektoren der Spalten x1 bis x3
Rang A/B ist die Anzahl der Einheitsvektoren der Spalten x1 bis b (b ist die Spalte nach dem =)

homogene Gleichungssysteme
Eindeutig lösbar Rg A = Rg A/b und keine freie Variable im Endtableau
mehrdeutig lösbar Rg A = Rg A/b und mindestens eine freie Variable

inhomogene Gleichungssysteme
Eindeutig lösbar Rg A = Rg A/b und keine freie Variable im Endtableau
mehrdeutig lösbar Rg A = Rg A/b und mindestens eine freie Variable
nicht lösbar Rg A < Rg A/b
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was ist denn hier eine "freie Variable"?
 
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