Frage Hessematrix

Klausur-Aufgaben zu Hessematrix:

Klausur März 07 Aufgabe 13

f(x,y) = -e^(y+x) + xy - y² - x²

=> Hf(x,y) = f"xx * f"yy - (f"xy)² = -e^(x+y) * -e^(x+y) - (e^(x+y)-1)² = -2e^(x+y)+1 < 0
=> -e^(x+y) < 0

Was ist die Hessenmatrix dann? (falls ich mich nicht verrechnet habe)


Klausur März 09 Aufgabe 11

Hf(x,y)
[2; 0]
[0; 4e^(2y)]

=> Hf(x,y) = 2*4e^(2y) - 0 > 0
=> 2 > 0
==> positiv definit
==> konvex
==> Funktionsgleichung: 8e^(2y)

Klausur September 07 Aufgabe 7

f(x,y) = e^(x+y)

alle partiellen Ableitungen nach x,y = e^(x+y)
=> positiv definit
=> streng konvex

stimmt das?

Vielen Dank schonmal.

Die Regeln sind folgende:

positiv definit, wenn fxx>0 und die Determinate der Hessematrix >0
positiv semidefinit, wenn fxx>0 und die Determinate der Hessematrix = 0
negativ definit, wenn fxx<0 und die Determinate der Hessematrix >0
negativ semidefinit, wenn fxx>0 und die Determinate der Hessematrix = 0
Die Funktion ist genau dann konvex, wenn die Hessematrix von f positiv semidefinit ist. Ist die Hessematrix von f positiv definit, so ist f strikt konvex und bei konkav genau umgekehrt
Ist die Hessemnatrix indefinit, also wenn det<0, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Bei der Afugabe 13 März 07 rechnest Du:
fx = -e^y+x + y -2x
fy = -e^y+x + x -2y
fxx= -e^y+x - 2
fxy = -e^y+x + 1
fyy = -e^y+x - 2
fyx = -e^y+x + 1
=> fxx <0
det = (-e^y+x - 2)^2 - (-e^x+y + 1)^2 = 6e^y+x+5 >0 => positiv definit => strikt konvex

Übrigens gibt es einen Unterschied zwischen fxy und fyx. Deshalb kannst Du hier nicht einfach grundsätzlich das Quadrat nehmen.

Shila,

vielen Dank für deine Antwort.
Wieso gibt es den zwischen fxy und fyx einen unterschied? Da darf es doch keinen unterschied geben. fxy muss doch immer fyx sein.

Sorry, Du hast Recht. Ich rechne es nur jedesmal lieber einzeln.

Hehe ok 😉 das ist immer ätzend alles wenn man nirgends eine Musterlösung findet

Shila schrieb:

Bei der Afugabe 13 März 07 rechnest Du:
fx = -e^y+x + y -2x
fy = -e^y+x + x -2y
fxx= -e^y+x - 2
fxy = -e^y+x + 1
fyy = -e^y+x - 2
fyx = -e^y+x + 1
=> fxx <0
det = (-e^y+x - 2)^2 - (-e^x+y + 1)^2 = 6e^y+x+5 >0 => positiv definit => strikt konvex

Zum Vergrößern anklicken....

Ist hier nicht die Det = 6e^(x+y) + 3 (statt +5)?
und wenn fxx<0 und det > 0 ist doch negativ definit und somit strikt konkav?

Mensch, scheinbar war ich zu blöd zum rechnen. Ja, es ist +5. Damit ist die det >0 und fxx<0 => strikt konkav und negativ definit

Hehe kommt vor 😉 aber vielen Dank habs jetzt auch weitesgehend verstanden

Ich ziehe die Frage zurück. Das ist doch nicht genau das was mir vorschwebt.

deinSchatten schrieb:

Wieso gibt es den zwischen fxy und fyx einen unterschied? Da darf es doch keinen unterschied geben. fxy muss doch immer fyx sein.

Zum Vergrößern anklicken....

Um jetzt mal einen Schlaumeier rauszuhängen: die Reihenfolge der partiellen Ableitungen ist nicht immer beliebig vertauschbar, sondern nur bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen.

Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass wir im Rahmen des Modules mit Funktionen konfrontiert werden, die diese Bedingung nicht erfüllen.