Also für mich ist das nichts anderes, als eine Funktion einmal nach der Kettenregel und nocheinmal ganz normal nach der Variablen abzuleiten. Im Prinzip eine simple Ableitungsregel, für die man eigentlich kein neues Wort bräuchte. In IÖ immer dann wichtig, wenn man neben einem direkten Effekt auch noch einen indirekten/strategischen Effekt zeigen möchte. Liege ich in etwa richtig?
Nein, nicht ganz.
Das Umhüllendentheorem (ich hab übrigens den Namen des Freds mal entsprechend angepasst) besagt folgendes: Du hast eine Funktion, die von einer Variable x und einem exogenen Parameter a abhängt, z.B. f(x,a).
Wenn Du da jetzt die erste Ableitung nach x bildest, nullsetzt und nach x auflöst, bekommst Du einen Optimalwert von x in Abhängigkeit von dem Parameter a, nennen wir das mal [tex]x^{opt}(a)[/tex]
Nun kann man sich ja die Frage stellen: Wenn ich schon im Optimum bin (! das ist wichtig!) und sich der Wert von a ändert, wie ändert sich dann der Funktionswert, wenn ich für das neue a wieder ein optimales x habe?
Normalerweise würde das zwei Ableitungen verlangen: eine direkte von f nach a und eine Rechnung nach der Kettenregel, also
[tex]\frac{df}{da}+\frac{df}{dx}\cdot\frac{dx}{da}[/tex]
Die Aussage des Umhüllendentheorems ist jetzt: Diese Kettenableitung braucht es aber nicht! Es reicht, einfach die Funktion nach a abzuleiden. Der indirekte Effekt durch die Anpassung des optimalen x kann vernachlässigt werden, weil er Null ist. Das ist auch ganz logisch: wir hatten ja das x gesucht, für das f'(x,a)=0 gilt. Wenn man x also infinitesimal ändert, passiert gar nüscht, denn der erste Bruch hinterm Pluszeichen ist Null.
Das Umhüllendentheorem ist also lediglich ein Werkzeug zur Vereinfachung von Optimalwertrechnungen – mit der Betonung auf Optimalwert. Es trifft keine inhaltlichen Aussagen über direkte und strategische Effekte. Das ist wieder eine andere Geschichte...
