Grenzrate der Substitution

ich versuche gerade das Thema Grenzrate der Substitution zu verstehen. Rechnerisch habe ich bisher verstanden, dass sie der Quotient der partiellen Ableitung ist. Allerdings verstehe ich einfach nicht, woran ich sehe, welche der beiden in den Zähler und welche in den Nenner kommt.

Außerdem verstehe ich die inhaltiche Aussage im Zusammenhang mit dem totalen Differential nicht. Beim totalen Differential habe ich mir als erklärenden Satz aufgeschrieben "um ein bestimmtes Ziel optimal zu erreichen, müssen alle Variablen um einen bestimmten Wert verändert werden, der mit dem totalen Differential berechnet wird". Vielleicht kann mir jemand darauf aufbauend versuchen zu erklären, was ich dann genau mit der Grenzrate der Substitution mache.

Danke schonmal

Michi

Michi,

ich habe zwar keine Ahnung, wie ich Dir jetzt konkret weiterhelfen kann, aber vielleicht ist das folgende schon mal ein Anfang:

Für eine Funktion f(x,y) von zwei unabhängigen Variablen versteht man unter dem totalen Differential den linearen Differentialausdruck

[tex]
df = \frac {\partial f} {\partial x} dx + \frac {\partial f} {\partial y} dy
[/tex]

Der erste Quotient ist dabei nichts anderes als die partielle Ableitung der Funktion nach x. Das totale Differential beschreibt somit die Änderung der Funktion bei kleinen Änderungen von x und y.

In vorgenannter Formel können beliebig viele Variable aufgenommen werden.

Zur Grenzrate der Substitution weiß ich bislang nur, dass im Zähler der Nuten des Gutes zu finden ist, welches ansteigt und im Nenner der Nutzen des Gutes, welches abnimmt.

Vielleicht hilft das ein bisschen.

LG Nina

Ja das mit dem zunehmenden und abnehmenden Nutzen ist schonmal ein Anhaltspunkt, wie ich mir erklären kann, was in Zähler und Nenner kommt.

Wie ich ein totales Differential berechne hatte ich schon soweit verstanden. Nur ist mir der inhaltliche bzw logische Zusammenhang zwischen totalem Differential und Grenzrate der Substitution nicht klar. Da muss es ja einen geben. Das eine ist praktisch ein Skalarprodukt (der eine Vektor mit den einzelnen partiellen Ableitungen als Komponenten, der andere hat halt dx, dy, dz... als Komponenten) das eine der Quotient der partiellen Ableitungen. Bei beidem wird mit den partiellen Ableitungen weitergearbeitet. Aber mehr Zusammenhang habe ich leider noch nicht erkannt...

Nehmen wir mal die Grenzrate der technischen Substitution (mit den anderen GRSen geht es aber genauso): Du hast also ein Arbeit-Kapital-Diagramm und darin eine Isoquante. Isoquante heißt: mit diesen Kombinationen von Arbeit und Kapital lässt sich ein bestimmtes (!) Outputniveau effizient (!) produzieren. In der Regel ist diese Isoquante eine konvexe Kurve (=abnehmende GRS)

Gehen wir mal von irgendeinem Punkt auf der Isoquante aus. Du produzierst x Einheiten Deines Gutes mit L0 Einheiten Arbeit und K0 Einheiten Kapital. Nun machst Du eine Bewegung entlang dieser Kurve: Du produzierst immer noch x Einheiten des Gutes, aber nun setzt Du weniger Arbeit ein und dafür mehr Kapital (Mach Dir dazu mal eine Zeichnung! Bewege Dich vom Startpunkt nach rechts. Dann setzt Du von dem Faktor, der auf der y-Achse steht weniger ein, von dem Faktor, der auf der x-Achse steht mehr.)

Die GRS gibt Dir nun folgendes an: wenn Du eine Einheit Arbeit weniger einsetzen willst, wieviel mehr Kapital musst Du dann mehr einsetzen, um den gleichen Output produzieren zu können. Die GRS gibt also ein Austauschverhältnis an.

Und nun kommt wieder das totale Differential ins Spiel. Die Funktion lautet F(K,L):

[tex]dF = \frac {\partial F} {\partial K} dK + \frac {\partial F} {\partial L} dL[/tex]

Wir wissen dF=0, weil ja der Output gleich bleibt. Dann kann man schreiben:

[tex]-\frac {\partial F} {\partial K} dK = \frac {\partial F} {\partial L} dL[/tex]
[tex]- \frac {dK} {dL} = \frac {\frac {\partial F} {\partial L}} {\frac {\partial F} {\partial K}}[/tex]

Was heißt das nun auf Deutsch? Stell Dir vor, der Bruch heißt +dK/-dL. Soviel mehr Kapital brauche ich (+dK), wenn ich dL weniger Arbeit einsetze. Auf der rechten Seite stehen die Grenzproduktivitäten von Arbeit und Kapital.

Danke, jetzt habe ich es verstanden!!!

GRS

Hallo Leute,

man ich bin echt zu doof für dieses Studium!

Ich versuche die ganze Zeit eine GRS zuerrechnen komme aber einfach nicht auf die Lösung 😕

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen!

U= 3x1^1/3 * x2^2/3

Ich habe die Abteilung einmal nach U(x1) und nach U(x2) gebildet

U(x1)= x1^-2/3 *x2^2/3
U(x2)= 2x^1/3 * x2^-1/3

und nun????? :hilfe:

Liebe Grüße
Maria

Kannst mich gern anrufen, stecke genau so wie du in dem selben.......sag lieber nicht....gg