Grenzrate der Substitution

bibu · 5 Juni 2005

Mikrofreunde und Mikrogeschädigte,

wie genau wird die GRS berechnet? Ich weiß zwar, wie der andere Weg funktioniert, indem ich für GRS (dX2)/(dX1) -(UX1)/(UX2) ausrechne, aber wie in aller Welt komme ich auf das gleiche Ergebnis mit GRS (dX2)/(dX1)? 😕
Vielleicht könnte mir es jemand kurz und anschaulich an dem Beispiel aus der EA1a der KE 2 erklären:

GRS (X2,X1) von U=10X1 + 5X2

DANKE

bibu

Chocoholic · 5 Juni 2005

Bibu!

Um die GRS zu berechnen, mußt Du zunächst die partiellen Ableitungen nach X1 und X2 bilden.
[Nach X1: 10; nach X2: 5]

Dann dividierst Du die part. Ableitung nach X1 durch die part. Ableitung nach X2 und setzt ein Minus davor.

Also GRS (X2, X1) = - 10/5 = -2 (A ist also richtig.)

Hoffe, ich konnte Dir ein bißchen weiterhelfen...?

Gruß,
Christiane

bibu · 8 Juni 2005

Christiane,

erst einmal Danke für Deine Antwort. 🙂
Aber so ganz ist meine Frage noch nicht geklärt. Ich wollte nämlich wissen, wie der andere Rechenweg funktioniert, also nicht -(U1)/(U2) sondern direkt (dX2)/(dX1) ausrechnen. Muß man da nicht irgendwie zuerst die Funktion nach der Variablen auflösen, die substituiert werden soll oder liege ich da völlig falsch?? 🙁

LG

bibu

Chocoholic · 9 Juni 2005

Sorry, ich kenne leider nur diesen einen Weg... :confused

Picahulu · 10 Juni 2005

ich bin zwar noch nicht wirklich in der Materie drin, aber wenn du (dX2)/(dX1) , also die Ableitung von x2 nach x1 haben willst, würde ich so vorgehen:
U = 10x1 + 5x2
<=> 5x2 = U-10x1
<=> x2 = 1/5U-2x1

Das dann ableiten nach x1 ergibt
dx2/dx1 = -2.
Voila

bibu · 10 Juni 2005

Drin bist Du nicht, aber drauf hast Du's schon! :daumen:
Das war's nämlich, wonach ich gesucht habe! :dankescho

georg.berlin · 12 Juni 2005

Sorry, verstehe ich nicht so ganz. In U ist ebenfalls X1 und X2 enthalten. Daher muss ich zuerst die Nutzenfunktion einsetzen: X2=1/5(10X1+5X2)-2X1. Wenn ich die Klammer auflöse und X2 auf die andere Seite bringe erhalte ich 0=0🙄 .

Irgendwo gibt es bei mir einen Denkfehler. U soll ja konst. sein. Kann mir jemand erklären, was ich falsch mache?

Gruß Georg

Picahulu · 12 Juni 2005

Dein Denkfehler ist, dass du U nochmal einsetzt in die Gleichung. Dass 0=0 rauskommt, bestätigt nur dass der Term korrekt nach x2 aufgelöst ist. du hast also quasi die probe gemacht 🙂

Den Term

x2 = 1/5U-2x1

leitest du einfach nur noch nach x1 ab. Du musst nichts mehr einsetzen. U wird in der partiellen Ableitung nach x1 als Konstante verwendet und ist in der Ableitung daher 0 (fällt raus). Oder als Formel:

(1/5U-2x1)' = 0 - 2*1 = -2.

Man muss also nur die Nutzenfunktion nach x2 auflösen und nach x1 ableiten, um die GRS zu erhalten.

Smarty · 11 August 2005

GRS

Hallo,

GRS(x2, x1) = dx2 / dx1 = UX1 / UX2

Für U = 10x1 + 5x2 gilt also

UX1 = dU/dx1 = 10
UX2 = dU/dx2 = 5

GRS(x2, x1) = 10 / 5 =2

Das ein muss natürlich die partielle Ableitung sein. (Kann mir jemand mal einen anständigen Formeleditor hier einbauen? 😡)

LG
Smarty

Picahulu · 12 August 2005

Nee das minus gehört da schon hin.

GRS(x2, x1) = - (dU/dx1) / (dU/dx2) = -10 / 5 = -2.

Nachtrag: Würde ich damit begründen, dass man von dem einen Gut weniger nimmt(es wird ersetzt), und von dem anderen mehr, um den Nutzen / Ertrag gleich zu halten. Daher muss die eine Ableitung positiv und die andere negativ sein.

sunshine06 · 12 August 2005

Das Problem mit dem Minus ist folgendes:

Eigentlich ist die GRS so definiert: sij=-dri/drj
Das liegt daran, dass ich von einem Gut etwas senke und von dem anderen dafür erhöhe richtig. Problem ist, dass ich das auch so schreiben kann:
sij=(dx/drj)/(dx/dri)
Gänzlich ohne Minus. Da kommt dann auch die allgemeine Verwirrung her.
Wenn man jetzt aber sagt, dass folgendes gilt:
-dri/drj=(dx/drj)/(dx/dri)
stellt sich mir die Frage, ob ich das Minus jetzt einfach rüberziehen darf. Eigentlich ja nicht so ohne weiteres. Und wie ich das dann in den Klausuren angeben soll.

Es gibt jedoch auch Lehrbücher in denen dieser Teil (dx/drj)/(dx/dri) stets in Betragsstrichen geschrieben wird. Womit man sich dann wieder auf Picahulus Argumentation einlassen könnte...

Picahulu · 13 August 2005

Hmm also ich denke du hast da jetzt das + und das - vertauscht bei den beiden Darstellungsformen. Bei der ersten von dir geschriebenen müsste IMO ein Plus stehen, bei der 2. ein Minus.

Außerdem verwirren mich die ganzen unterschiedlichen Buchstaben in dem Thread 😉

Ich versuche es nochmal übersichtlich zusammenzustellen für die Grenzrate der technischen Substitution mit v1 und v2 als Produktionsfaktoren.

1. Form - Ableitung der Isoquante nach v1:
Auflösen nach v2 ergibt den Funktionsterm der Isoquante.
Ableiten nach v1 ergibt die GRS:
GRS(v2, v1) = dv2/dv1

2. Form - umgekehrtes negatives Verhältnis der Grenzproduktivitäten:
GRS(v2, v1) = - (dx/dv1) / (dx/dv2)

Wenn das jetzt soweit korrekt ist und ich das richtig verstanden habe, gilt das für Haushaltstheorie alles analog, nur dass eben Isoquante = Indiferenzkurve und Grenzproduktivität = Grenznutzen.

Und um nochmal auf die ursprüngliche Aufgabe zu kommen:
Die GRS kann ja eigentlich auch gar nicht positiv sein, weil diese ja die Steigung der Indifferenzkurve ist. Eine ansteigende Indifferenzkurve würde jedoch bedeuten, dass eines der beiden Güter "Schaden" verursacht, den ich durch eine höhere Menge des anderen Gutes kompensieren müsste. Dann hätte ich z.b. bei einer Geraden die durch (2,1) geht und (4,2) bei diesen Punkten den gleichen Nutzen obwohl ich von beiden Gütern mehr habe, das macht keinen Sinn.

sunshine06 · 14 August 2005

Zumindest sind wir einig, dass eine positive GRS keinen Sinn macht. Ich werd das bei Gelegenheit nochmal ganz genau unter die Lupe nehmen. Hauptproblem ist, glaube ich, dass das auch in der Literatur unterschiedlich dargestellt wird (mit oder ohne Betragszeichen etc.).

DocRalf · 16 August 2005

Picahulu schrieb:
nee das minus gehört da schon hin.

GRS(x2, x1) = - (dU/dx1) / (dU/dx2) = -10 / 5 = -2.

Nachtrag: Würde ich damit begründen, dass man von dem einen Gut weniger nimmt(es wird ersetzt), und von dem anderen mehr, um den Nutzen / Ertrag gleich zu halten. Daher muss die eine Ableitung positiv und die andere negativ sein.

Oder anders gesagt: die GRS ist die Ableitung der Indifferenzkurve. Bei den
üblichen Fällen ist diese konvex, also zum Ursprung hin gebogen ("fallend").
Somit muss die Steigung der Kurve (und nichts anderes ist ja die 1.
Ableitung) negativ sein.

Gruß
Ralf

DocRalf · 16 August 2005

sunshine06 schrieb:
Zumindest sind wir einig, dass eine positive GRS keinen Sinn macht. Ich werd das bei Gelegenheit nochmal ganz genau unter die Lupe nehmen. Hauptproblem ist, glaube ich, dass das auch in der Literatur unterschiedlich dargestellt wird (mit oder ohne Betragszeichen etc.).

Bei üblicher fallender Indifferenzkurve verzichte ich (z.B.) auf Gut Y, um
mehr vom Gut X zu bekommen. Bei steigender Indifferenzkurve würde ich
mehr vom Gut Y dafür bekommen, dass ich vom Gut X mehr erhalte. Mit
etwas Fantasie könnte man das vielleicht als das Annehmen bzw.
abtransportieren von (unerwünschten) Gütern z.B. gegen Geld betrachten.
Ich erhalte das unerwünschte Gut X, und bekomme Gut Y (Geld) dafür als
Entlohnung, dass ich X annehme. In den meisten Fällen wird X dabei
allerdings eher ein "Schlecht" sein, z.B. Sondermüll. Die Interpretation mit
dem "Schlecht" entspricht wieder der gängigen Sichtweise einer steigenden
Indifferenzkurve im Skript.

Gruß
Ralf

DocRalf · 16 August 2005

Formeleditor im Forum = TeX

Smarty schrieb:
(Kann mir jemand mal einen anständigen Formeleditor hier einbauen? 😡)

LG
Smarty

Sowas gibts in Form von TeX-Makros. Sollte für alle Mathe-Geschädigten
kein Problem sein, oder? In den Mathe- und Informatik-Foren hab' ich es
zumindest schon in Verwendung gesehen, und auch jeder anständige
Wirtschaftler sollte ja schon die eine oder andere Mathe-Vorlesung hinter
sich haben...

Verwendung wie folgt:

Einfach innerhalb der Tags [tex] [/tex] die Formel eingeben, z.B. für die
Einkommenselastizität:

[tex]\eta_{x, e} = \frac{\delta x}{\delta e} * \frac{e}{x} [/tex]

Hier der Inhalt der Formel:

\eta_{x, e} = \frac{\delta x}{\delta e} * \frac{e}{x}

Gruß
Ralf

Picahulu · 16 August 2005

DocRalf schrieb:
Oder anders gesagt: die GRS ist die Ableitung der Indifferenzkurve. Bei den
üblichen Fällen ist diese konvex, also zum Ursprung hin gebogen ("fallend").
Somit muss die Steigung der Kurve (und nichts anderes ist ja die 1.
Ableitung) negativ sein.

Gruß
Ralf

jau, nur das konvex != fallend.
Das die Indifferenzkurve (meist) konvex ist, ist eigentlich irrelevant, es geht nur darum dass sie fällt.
eine konvexe (=linksgekrümmte) Kurve kann nach ihrem Tiefpunkt auch wieder steigen. und eine konkave Kurve kann nach ihrem Hochpunkt wieder sinken.

Picahulu · 16 August 2005

DocRalf schrieb:
Bei steigender Indifferenzkurve würde ich
mehr vom Gut Y dafür bekommen, dass ich vom Gut X mehr erhalte. Mit
etwas Fantasie könnte man das vielleicht als das Annehmen bzw.
abtransportieren von (unerwünschten) Gütern z.B. gegen Geld betrachten.
Ich erhalte das unerwünschte Gut X, und bekomme Gut Y (Geld) dafür als
Entlohnung, dass ich X annehme. In den meisten Fällen wird X dabei
allerdings eher ein "Schlecht" sein, z.B. Sondermüll. Die Interpretation mit
dem "Schlecht" entspricht wieder der gängigen Sichtweise einer steigenden
Indifferenzkurve im Skript.
Gruß
Ralf

das widerspricht aber dem Postulat der Nichtsättigung und ist m.M.n. ein Fall der in der Theorie gar nicht existiert. Sondermüll ist IMO kein Gut im mikroökonomischen Sinn. => Steigende Indifferenzkurven sind IMO nicht möglich.

q1234567 · 16 September 2007

die GRS unterscheidet sich merkwürderweise je nach Lehrbuch und Quelle.
Könnte ihr mir sagen, was nun wirklich richtig ist?

Z.B: VWL (40501)
GRS = - dx2/dx1 ein paar Seiten weiter steht dx2/dx1 (ohne Minus)
In den Übungsaufgaben dazu wird sie mit dx1/dx2 (ohne Minus) angegeben.

Bei EBWL (40500) findet man dx2/dx1 (ohne Minus)

Das sind jetzt drei verschiedene Schreibweisen aus 2 Quellen.
Könnt ihr mich aufklären?

Jacky1987 · 3 Dezember 2007

koennte mir jemand von euch die Aufgabe 3-7 b) auf der Seite 43, Kurseinheit 1, erklaeren? Ich komme da einfach nicht mit klar und ich habe mir die erklaerungen von euch durchgelesen aber ich komme trotzdem nicht weiter.

Waere super nett, wenn ihr mir helfen koenntet!

Trigger · 11 September 2008

ich versuche mich bei dieser Aufgabe schon mehrere Stunden, könnte mir bitte jemand einen Deckanstoß geben?

Die Nutzenfunktion eines Menschen lautet: U (X,X2) = 10 ln (X1) + 5 ln(X2)

WIe hoch ist der Gesamtnutzen U in Nutzeinheiten für die Güterkombination

a) X1 = 8 und X2 = 10?
b) X1 = 12 und X2 = 5?

Danke in voraus

Vollbi · 12 September 2008

@Trigger,

wenn ich deine Frage richtig verstanden habe, setzt du jeweils X1 und x2 in die Nutzenfunktion ein und erhältst den Nutzen😉

Gruß

Uwe

Trigger · 12 September 2008

Uwe,

danke erstmal für deine Antwort.

So einfach ist das nun auch wieder nicht 🙂

Ich habe hier soweit es der Richtigkeit entspricht ein Ergebnis
a) = 32,3
b) = 32,9

Diese Aufgabe wird duch das erste gossensches Gesetz errechnet.
(Grenzrate der Substitution)

Aber wie gesagt, ich komme einfach nicht auf die Ergebnisse

anon9000 · 30 Juni 2009

Trigger schrieb:
Hallo Uwe,

danke erstmal für deine Antwort.

So einfach ist das nun auch wieder nicht 🙂

Ich habe hier soweit es der Richtigkeit entspricht ein Ergebnis
a) = 32,3
b) = 32,9

Diese Aufgabe wird duch das erste gossensches Gesetz errechnet.
(Grenzrate der Substitution)

Aber wie gesagt, ich komme einfach nicht auf die Ergebnisse 😉

extra registriert um zu sagen:
junge, du bist dumm.

bibu · 30 Juni 2009

Und fühlst Du Dich jetzt besser?

Grenzrate der Substitution

georg.berlin

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