• Guten Start ins Wintersemester 2024/2025

Homogenitätsgrad

R

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Könntet Ihr mir bitte noch mal - gaaaaaanz langsam - die Berechnung des Homogenitätsgrades erklären?

Z.B. Funktion Q= (1/L^2 + 1/c^2)^-1/2

Die Lösung ist 1, aber wie genau komme ich darauf.

Irgendwie steht mü (in Lautschrift 😀) vor der Klammer, der Rest des Terms wird durch Q ersetzt, dann bleibt mü^1 übrig.

Also dachte ich, dass es immer mü^1 ist.

Aber bei der Aufgabe 9 aus der Klausur 3/08 kommt bei

Q= 10L^0,5 C

dann 1,5 raus.

Irgendwie werden ^0,5 aus der Klammer des Terms mit auf mü angerechnet, während die -1/2 der Aufgabe oben nicht abgezogen werden.

Versteht irgendjemand meine wüsten Schilderungen und hat auch noch eine Lösung dafür?
 
[tex]Q(L,C) = 10L^{\frac{1}{2}}C[/tex]

[tex]Q(\lambda L,\lambda C) = 10\left(\lambda L\right)^{\frac{1}{2}}(\lambda C)= \lambda^{\frac{1}{2}}\lambda 10L^{\frac{1}{2}}C=\lambda^{\frac{1}{2}+1} \cdot Q (L,C)=\lambda^{1,5} \cdot Q(L,C)[/tex]
 
[tex]Q(L,C) = \left( \frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2} \right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]Q(\lambda L,\lambda C) = \left( \frac{1}{(\lambda L)^2} + \frac{1}{(\lambda C)^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{\lambda ^2 L^2} + \frac{1}{\lambda ^2 C^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{\lambda ^2} \cdot \left(\frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2}\right) \right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex] = \lambda ^{(-2) \cdot (-\frac{1}{2})} \cdot \left( \frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \lambda ^1 \cdot Q[/tex]
 
ceepeebee schrieb:
[tex]Q(L,C) = \left( \frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2} \right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]Q(\lambda L,\lambda C) = \left( \frac{1}{(\lambda L)^2} + \frac{1}{(\lambda C)^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{\lambda ^2 L^2} + \frac{1}{\lambda ^2 C^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{\lambda ^2} \cdot \left(\frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2}\right) \right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex] = \lambda ^{(-2) \cdot (-\frac{1}{2})} \cdot \left( \frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \lambda ^1 \cdot Q[/tex]
Zum Vergrößern anklicken....

Oh, super!

Und wie kommt es dazu, dass in der letzten Zeile mü in den Zähler kommt und nicht mehr im Nenner steht?
 
Aber es ist doch wirklich furchtbar, dass es "immer nur" an ein klein wenig Mathe liegt, dass man völlig verzweifelt.

Mir sind die Musterlösungen häufig nicht ausführlich genug. Die Lösung steht zwar da, aber mir fehlen immer ein paar Schritte dazwischen...
 
Und damit es nicht an "ein klein wenig Mathe" scheitert, bekommst du ja hier im Forum die notwendige Unterstützung!
Wenn es also irgendwo noch hapert, einfach entsprechenden Post ins Forum und es wird einige geben, die dir helfen werden - musst mich also gar nicht buchen 😉
Aber bitte erst die alten Themen durchstöbern (zB per Suchfunktion), damit nicht alles doppelt und dreifach geschrieben werden muss. Auch hilfreich ist eine aussagekräftige Überschrift, v.a. wenn es sich um eine spezielle Aufgabe handelt - das erleichtert die Suche ungemein!
Aber was erzähl ich dir das, das hast du ja sehr gut hinbekommen
 
ceepeebee schrieb:
[tex]Q(L,C) = \left( \frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2} \right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]Q(\lambda L,\lambda C) = \left( \frac{1}{(\lambda L)^2} + \frac{1}{(\lambda C)^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{\lambda ^2 L^2} + \frac{1}{\lambda ^2 C^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{\lambda ^2} \cdot \left(\frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2}\right) \right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex] = \lambda ^{(-2) \cdot (-\frac{1}{2})} \cdot \left( \frac{1}{L^2} + \frac{1}{C^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = \lambda ^1 \cdot Q[/tex]
Zum Vergrößern anklicken....

Bleibt nur noch die Frage zu klären, wie man das ganz schnell einfacher errechnen kann. Dazu schauen wir uns die Exponenten an und erinnern und an die Potenzgesetze: bei Multiplikation werden die Exponenten addiert, bei Division subtrahiert. Beim Potenzieren werden Exponenten multipliziert und beim Wurzelziehen dividiert.

Schauen wir uns unsere Funktion an. Der erste Term ist:[tex] \frac{1}{L^2} [/tex] Im Zähler steht kein Exponent, im Nenner steht 2. Null minus zwei ist -2. Der Homogenitätsgrad des ersten Termes ist also -2. Analog für den zweiten Term ebenfalls -2. Achtung: eine Addition zweier Terme/Funktionen, die beide dem Homogenitätsgrad -2 haben, ergibt immer noch -2 ! (Hätten beide unterschiedliche Homogenitätsgrade ist hier schon Schluss).

Der nächste Exponent ist "hoch minus 1/2" Aus hoch wird mal.
Damit errechnet sich der Homögenitätsgrad unserer Funktion ganz schnell folgendermaßen:
[tex] -2*(-\frac {1}{2})=1 [/tex]



Zum Testen könnt Ihr ja schnell mal den Homogenitätsgrad folgender Funktion errechnen:
[tex] (12\frac {x^2} {y^4} * 4z^3)^{\frac {1}{3}}*sqrt(\frac{1}{2}*y^{-2})[/tex]



... Die Lösung ist übrigens [tex] -\frac {2} {3}[/tex]

MfG
Thomas Wettstein
Tutor Mikro/Makro
STZ Erfurt
 
Exponenten in der ersten Klammer: 2-4+3 =1
das ganze mal 1/3 ist gleich 1/3

Exponenten des 2. Terms: -2/2 = -1

und das ganze addiert 1/3-1=-2/3

oder auch einfach in den Taschenrechner tippen: (2-4+3)*1/3+(-2/2)
 
Naja, ich saß heute nachmittag über einer alten Klausur und kam mit dem Homogenitätsgrad nicht klar. Und dann klickt man sich doch mal hier rein und stöbert, ob´s die Fragestellungen schon gab. Aber: danke auch an Dich, dass Du mir das Stellen der peinlichen Fragen abgenommen hast. 🙂 Außerdem gibt´s finde ich keine peinlichen Fragen?!?
 
Die -2 ist der Exponent vom y im zweiten Klammerterm unter der Wurzel. Die Wurzel ist, als Exponent geschrieben hoch 1/2. Das mit -2 multipliziert ergibt -1...
 
Will jetzt doch noch mal meinen Senf zu dem Thema hier abgeben:
Der Rechenvorschlag von Thomas ist natürlich gut geeignet, um schnell den Homogenitätsgrad herauszufinden. Mathematisch ists übrigens der selbe Weg...😉

Viel wichtiger jedoch ist, dass die Bedeutung des Homogenitätsgrades stets im Hinterkopf bleibt, sowohl in formaler Hinsicht wie auch bei der wirtschaftlichen Interpretation, zB einer Produktionsfunktion. Hat man verstanden, wie sich der Homogenitätsgrad formal richtig berechnen lässt, gibts m.E. nach für Probleme bei der Interpretation keinen Grund mehr... Bei der Kurzvariante läuft man jedoch Gefahr, das zu verdrängen - nichtsdestotrotz ist sie natürlich wunderbar geeignet, schnell auf die richtige Lösung zu kommen!
 

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