Lagrange Ansatz auf Seite 33/34

so bin jetzt schon mal selbst ein Stück weitergekommen, aber! Die beiden ersten Optimalbedingungen leuchten mir noch nicht ganz ein.

Vielen Dank im Voraus

Euer Heiko

Heiko,

ich versuchs mal zu erklären und hoffe, dass es verständlich wird...

Die drei Optimalbedingungen ergeben sich, wenn Du die Lagrange-Funktion nacheinander nach x, x* und pi ableitest und dann gleich Null setzt.

Ich fange mal mit der ersten an:
Der erste Summand der Lagrange-Funktion (u=x^a mal x*^b) abgeleitet:
a mal x^a-1 mal x*^b
= a mal x^a mal x^-1 mal x*^b und das ist umgeformt
= (a mal u)/x
Wie man den zweiten Summanden ableitet, ist wahrscheinlich klar.

Die zweite Ableitung funktioniert genauso...

Die dritte Ableitung ist mir gerade selbst nicht klar (ich war allerdings auch gerade in was ganz anderes - aber auch monetäre Außenwirtschaft - vertieft 🙄)
Müsste die dritte Ableitung nicht eigentlich nach müh sein??? Bzw. ist das nicht auch gemacht worden??? Ist das ein Tippfehler im Nenner? 😕

Naja, ich hoffe, ich habe Dir schonmal ein bisschen weitergeholfen.

Ina

Willkommen in der wunderbaren Welt der Mathetricks.

Es ist: [tex]u=x^a\cdot x*^b[/tex]. Das halten wir mal im Hinterkopf. 😉

Dann ist

[tex]\frac{\partial L}{\partial x}=ax^{a-1}x*^b-\mu=0[/tex].

Soweit die handelsübliche Ableitung, die Dir aber klar sein sollte. Die weisen Regeln der Mathematik sagen nun, dass gilt:

[tex]\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}[/tex].

Man kann also für [tex]x^{a-1}[/tex] schreiben: [tex]\frac{x^a}{x}[/tex].

Also haben wir:

[tex]\frac{\partial L}{\partial x}=ax^{a-1}x*^b-\mu=\frac{a\cdot x^a\cdot x*^b}{x}-\mu=0[/tex].

Und weil wir die Definition für u im Hinterkopf haben, setzen wir das einfach ein, und Du bekommst die erste Optimalbedingung. Die zweite geht analog.

Na, Ina war schneller. Na klar. Erst passiert hier nix, dann alles auf einmal... 😀😀

@Ina: Ja, die dritte Bedingung ist die Ableitung nach mü, und die ergibt genau den Klammerausdruck, also die Nebenbedingung in der Lagrangefunktion. Das ist immer so.

Danke Dirk, dann ist das ein Druckfehler im Skript.
Spricht nicht für mich, dass ich da nicht gleich drüber gestolpert bin... aber da mir das eigentlich klar war, habe ich das wohl beim ersten Mal überlesen.

Ina

In meiner Version des Skripts steht's richtig. 😕

Aber das hatten wir neulich schonmal, dass in den Teilen plötzlich Fehler drinstehen, obwohl die schon Jahre alt sind... 🙄

Hm... nachträglich Fehler einzubauen macht ja eigentlich keinen Sinn... scheint hier trotzdem passiert zu sein :confused

danke für Eure Hilfe, aber auch mich hat der Ehrgeiz gepackt und ich bin sogar selbst auf die Lösung gekommen!

Ha! Habe meine Lösung für die Nachwelt einmal festgehalten!

Liebe Grüße
Euer Heiko