obere / untere Schranke

jetzt ich mir noch eine Aufgabe begegnet, bei der ich nicht weiter komme. Ich soll die obere und untere Schranke einer Funktion bestimmen.
Bsp.: 7x^2+14x-7

aber eine quadratische Funktion ist doch gar nicht beschränkt. Oder habe ich da was grundsätzlich falsch verstanden?

Lg Michi

Sorry, dass ich jetzt erst wieder schreibe. Musste direkt nach meinem post vom PC weg und bin auch gerade erst wieder da.

Danke für die Antwort. Allerdings verstehe ich das leider immer noch nicht ganz. Erstmal komme ich auf einen anderen Scheitelpunkt:
f´(x)=14x+14
0=14x+14
<=>-1=x
f(-1)=-14
also ist meiner Meinung nach der Scheitelpunkt bei (-1/-14)
Dann verstehe ich nicht, warum du für den Scheitelpunkt zwar x=0 ermittelt hast, aber sagst, dass untere Schranken für x<-14 vorliegen. Erstens ist es doch so, dass die Funktionswerte auch für x<(Wert Scheitelpunkt) auch wieder größer werden, warum ist dies dann also eine untere Schranke und zweitens warum ist das vom Funktionswert des Scheitelpunkts als x-Wert abhängig?

Ich habe jetzt die Tatsache verstanden, dass die Funktion in soweit beschränkt ist, dass sie keine kleineren Funktionswerte, als ihren Scheitelpunkt bei einer nach oben geöffneten Parabel annimmt. Mir ist auch bewusst, dass sie das bei einer nach unten geöffenten Parabel, die dann ein Maximum hat, umkehrt. Wie ist das dann bei Funktionen höheren Grades, die mehrere Extrema haben?

Lg Michi

Ok also sind Schranken erstmal grundsätzlich Funktionswerte?

Die untere Schranke ist dann ein Funktionswert, der "links von sich" (also im Koordinatensystem auf der x-Achse gesehen)nur größere Werte hat?

Aber warum ist -14 dann die größte untere Schranke, wenn es der kleinste Funktionswert ist?

Analog müsste es dann also bei der oberen Schranke heißen: der zu diesem Wert zugehörige Funktionswert wird von keinem anderen Funktionswert überboten.

Also muss ich bei Aufgabenstellungen, bei denen nach der Schranke/Schranken gefragt ist immer nach den Extrema der Funktion suchen? Deren Funktionswert gibt mir dann den Wert der Schranke an?

Michi87 schrieb:

Wie ist das dann bei Funktionen höheren Grades, die mehrere Extrema haben?

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Das funktioniert genau so. Du schaust Dir die Grenzwerte der Funktion für minus und plus Unendlich an und bestimmst die Extrema. Wenn Du z.B. auf der Suche nach einem Infimum bist und Du hast zwei Minima, ist das kleinere von beiden das Extremum.

Michi87 schrieb:

ok also sind Schranken erstmal grundsätzlich Funktionswerte?

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Nicht unbedingt. Bei der Funktion [tex]\frac{1}{x}[/tex] ist 0 eine untere Schranke und das Infimum, die Funktion nimmt diesen Wert aber nie an.

Michi87 schrieb:

Die untere Schranke ist dann ein Funktionswert, der "links von sich" (also im Koordinatensystem auf der x-Achse gesehen)nur größere Werte hat?

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Funktionswerte liegen in der Regel auf der y-Achse. Im obigen Beispiel ist -14 der Funktionswert der Funktion an der Stelle x=1. Vielleicht kannst Du es Dir so vorstellen: wenn Du im Koordinatensystem parallel zur x-Achse eine Linie ziehst, die durch -14 auf der y-Achse geht und dann den Funktionsgraphen einzeichnest, liegt dieser Graph vollständig über der eingezeichneten Parallelen.

Michi87 schrieb:

Aber warum ist -14 dann die größte untere Schranke, wenn es der kleinste Funktionswert ist?

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Weil alle anderen Schranken kleiner sind. 😀
Alle Funktionswerte sind -14 oder liegen darüber. Alle Funktionswerte liegen aber auch über -15 oder -16 und -15 ist kleiner als -14, also ist -14 die kleinste obere Schranke.

Michi87 schrieb:

Analog müsste es dann also bei der oberen Schranke heißen: der zu diesem Wert zugehörige Funktionswert wird von keinem anderen Funktionswert überboten.

Also muss ich bei Aufgabenstellungen, bei denen nach der Schranke/Schranken gefragt ist immer nach den Extrema der Funktion suchen? Deren Funktionswert gibt mir dann den Wert der Schranke an?

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Genau so ist es. 🙂
Aber die Grenzwerte nach minus und plus Unendlich nicht vergessen.

Das war mal eine ausführliche Antwort der offenen Fragen.
Es ist jetzt nach der Erklärung total logisch, dass ich mit Hilfe der Extrema an Infinimum und Supremum komme. Das mit der parallelen Linie zur x-Achse war ne super-Erklärung. Ich glaube an der Stelle ist der Groschen gefallen!
Aber kannst du mir das mit den Grenzwerten vielleicht nochmal erläutern?
Ich habe es jetzt so verstanden, dass eine Funktion, die z.B. für x
->-undendlich in richtung -unendlich strebt kein Supremum hat, weil sie vllt auch ein Minimum hat, aber später trotzdem diesen Wert noch einmal unterschreitet. Habe ich das so richtig verstanden?

vielen Dank und liebe Grüße

Michi