Probleme mit dem Verstehen von Formeln besonders GRS

Du hast im Prinzip schon Recht. Die GRS ist mathematisch eine Division zweier Ableitungen. Aber man interpretiert sie nicht so.

Ökonomisch ist die GRS ein Verhältnis. Nehmen wir die die Grenzrate der Faktorsubstitution. Die Produktionsfunktion lautet F(K,L). Nun willst Du wissen wieviel mehr Kapital Du einsetzen musst, um eine (sehr kleine) Einheit Arbeit zu ersetzen. Der Output soll dabei gleich bleiben.

Dann musst Du die Produktionsfunktion total differenzieren:

[tex]\frac{\partial F}{\partial K}dK +\frac{\partial F}{\partial L}dL=0[/tex]

Das komische d ist ein anders geschriebenes d und kein Delta. Man spricht es "Del", und es bedeutet die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen nach einer dieser Variablen. Also eine partielle Ableitung.

[tex]\frac{\partial F}{\partial K}[/tex] ist die Änderung des Output, wenn eine infinitesimal kleine Menge mehr Kapital eingesetzt wird. dK ist dann die wirkliche Größe der Änderung.

Wir wissen, dass die beiden partiellen Ableitungen positiv sind. Mehr Kapitaleinsatz bzw. mehr Arbeit = mehr Output. Wenn wir nun mehr Kapital einsetzen (dK>0) und der Output sich am Ende nicht ändern soll (deshalb das =0 in der totalen Ableitung), muss also dL < 0 sein.

Nun kann man die Gleichung oben noch umschreiben:

[tex]\frac{\partial F}{\partial K}dK +\frac{\partial F}{\partial L}dL=0[/tex]
[tex]\frac{\partial F}{\partial K}dK = -\frac{\partial F}{\partial L}dL[/tex]
[tex]\frac{\frac{\partial F}{\partial K}}{\frac{\partial F}{\partial L}}=-\frac{dL}{dK}[/tex]

Nun kannst Du ablesen, in welchem Verhältnis sich der Einsatz der beiden Faktoren ändert.

Wenn Du – wie in der Aufgabe offenbar – eine konkrete Produktionsfunktion (oder eine Nutzenfunktion) vorgegeben hast, kannst Du im Prinzip wie hier allgemein beschrieben vorgehen und die GRS berechnen.

Ok, aber wie berechne ich das denn genau? ist es richtig, wenn ich als GRS2,1 der Produktionsfunktion 4r1²*r2 das Ergebnis - 8r1*r2/4r1² bzw. 2r2/r1 habe? Denn im Heft steht leider eine andere Lösung: -M/2r1 hoch 3 bzw. - M/2 *r1 hoch -3

????

Hey KaBe, das Thema wird auch hier bereits disktuiert: #?t=29909

Vielleicht findest du dort nützliche Hinweise/Tipps

chasey82 schrieb:

Hey KaBe, das Thema wird auch hier bereits disktuiert: #?t=29909

Vielleicht findest du dort nützliche Hinweise/Tipps

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Da hatte ich auch schon geguckt, nur leider kann ich den Weg von der Lösung in diesem Thread zur Lösung im Heft nicht nachvollziehen, wodurch es mich leider nicht weitergebracht hat...

Hmm... wie wärs denn mit dem thread hier: #?t=28779

Ich kann dir nur empfehlen die Forensuche zu verwenden da viele Themen ja auch im letzten Semester schon diskutiert wurden

KaBe
ich versuche mal mein Glück
Du sollst die GRS des Faktors 2 zu 1 bestimmen, also musst du r2 aus der Produktionsfunktion auf eine Seite bringen und die andere Seite ableiten. (wenn nach der GRS von Faktor 1 zu 2 gefragt ist, dann r1 auf eine Seite und nach r2 ableiten)
Also als 1. rechnest du durch [tex]4r1^2[/tex] somit kommst du auf die Isoquantengleichung von Seite 120.
Jetzt musst du die rechte Seite wo r1 vorhanden ist ableiten (lass dich dabei von dem M nicht verwirren und betrachte M als irgendeinen Faktor; in der Schule hieß es zum Beispiel [tex]ax^2[/tex] und da schreibst du das a genauso weiter und erhältst 2ax)
Die Ableitungsregel lautet also Exponent mit Faktor multiplizieren (in unserem Fall -2 mal M) und Exponent minus 1 (also ergibt sich [tex]r^{-3}[/tex]) und jetzt nur noch kürzen und du hast die GRS von Faktor 2 zu 1.

Jetzt zum Expansionspfad
Das ist das Gleichsetzen der GRS mit dem Preisverhältnis und wieder auflösen nach r2
Als 1. wird M ersetzt. M ist die gegebene Produktionsfunktion [tex]4r1^2r2[/tex]
und wird für M eingesetzt. Dann wird die 4 mit der 2 gekürzt und die Exponenten von r1 miteinander dann noch mal r1 und durch 2 und du erhältst den Expansionspfad

Ich hoffe damit kannst du die Rechenwege nachvollziehen

*max* schrieb:

Hallo KaBe
ich versuche mal mein Glück
Du sollst die GRS des Faktors 2 zu 1 bestimmen, also musst du r2 aus der Produktionsfunktion auf eine Seite bringen und die andere Seite ableiten. (wenn nach der GRS von Faktor 1 zu 2 gefragt ist, dann r1 auf eine Seite und nach r2 ableiten)
Also als 1. rechnest du durch 4r12 somit kommst du auf die Isoqantengleichung von Seite 120.
Jetzt musst du die rechte Seite wo r1 vorhanden ist ableiten (lass dich dabei von dem M nicht verwirren und betrachte M als irgendeinen Faktor; in der Schule hieß es zum Beispiel ax2 und da schreibts du das a genauso weiter und erhältst 2ax)
Die Ableitungsregel lautet also Exponent mit Faktor multiplizieren (in unserem Fall -2 mal M) und Exponent minus 1 (also ergibt sich r-3) und jetzt nur noch kürzen und du hast die GRS von Faktor 2 zu 1.

Jetzt zum Expansionspfad
Das ist das Gleichsetzen der GRS mit dem Preisverhältnis und wieder auflösen nach r2
Als 1. wird M ersetzt. M ist die gegebene Produktionsfunktion 4r12 r2
und wird für M eingesetzt. Dann wird die 4 mit der 2 gekürzt und die Exponenten von r1 miteinander dann noch mal r1 und durch 2 und du erhältst den Expansionspfad

Ich hoffe damit kannst du die Rechenwege nachvollziehen

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Danke dir, mittlerweile ist es schon um einiges klarer...kam nur mit den ganzen Zeichen auch total durcheinander. Aber eines ist mir immer noch unklar: Wieso löse ich zur Bestimmung des Expansionspfades wieder nach r2 auf? Woher weiß ich denn nach welchem Faktor ich da auflösen muss oder kann ich mir das aussuchen? O_O

Beim Expansionspfad kannst du dir es meiner Meinung nach heraussuchen.