Produktionsfunktionen

wie gebe ich in meinen TI-30XIIS folgendes ein:
die 3. Wurzel aus 2/9
die 3. Wurzel aus 6

ok - gefunden: 3. Wurzel von 2/9 = 2/9 ˄ (1/3)

ich bearbeite S 83, die Minimalkostenkombination:
3 * 3. Wurzel von 2/9 = 2/9 ˄ (1/3) * 3 = 2,88 +
3. Wurzel von 6 = 6 ˄ (1/3) = 1,817 +
2 * 3. Wurzel von 3/4 = 3/4 ˄ (1/3) * 2 = 3,78 =
8,477
das richtige Ergebnis wäre aber 5,46

was mache ich falsch?

ok, Schritt 3. verstehe ich leider auch nicht:
wo kommt der Faktor 2 her - und wohin löst sich der Faktor 8 auf ??

Schritt 2: wenn ich die Brüche unter der Wurzel auch in Klammer setze (2/9); (3/4), kommt bei zumindest 5,45 raus.

Schritt 3: du ziehst die 3. Wurzel aus 8 = 2
aus der 8 unter der Wurzel wird eine 2, die du vorne hinstellst
bei r2 am leichtesten nachvollziehbar: 48^(1/3)=3,634
2*6^(1/3)=3,634

Aber kannst du mir sagen, wo die Produktionsfunktion überhaupt herkommt und wie die Rechnungen auf S. 82 aufgestellt werden ??:eek

vielen Dank 🙂 ich komme auf dasselbe Ergebnis wie du

die Produktionsfunktion steht auf Seite 80 (Grundlagen der Leistungserstellung, Kurs 2)

Es geht hier darum, dass eine ganz bestimmte Ausbringungsmenge x (die eine bestimmte Produktionsfunktion hat und gegebene Faktorpreise) mit minimalen Kosten erzeugt werden soll. Deshalb werden hier die kostenminimalen Faktoreinsatzmengen r1, r2 und r3 für das Produktionsniveau x = 8 berechnet.

Kann mir bitte jemand die Übungsaufgabe 6 - Grundlagen der Leistungserstellung - Kurs 2 - S 65 erklären.

@Regina: vielen Dank für die Übungen !

Zur Homogenität hab ich übrigens noch etwas ganz Interessantes herausgefunden:
Wenn man in die Funktion für den Input Zahlen einsetzt,
z.B, r1= 1 und r2= 2 und damit x berechnet und dann
r1 und r2 verdoppelt, also 2 und 4 einsetzt, wieder x berechnet und die beiden Werte vergleicht, so bedeutet eine

Verdoppelung des Outputs -> Homogenität 1
Vervierfachung -"- -> Homogenität 2
Verachtfachung -"- -> Homogenität 3
Versechzehnfachung -"- -> Homogenität 4
wenn sich ein anderes Verhältnis ergibt, ist die Funktion inhomogen

Hab dies bei allen Bsp (auch bei deinen) ausprobiert und hat immer funktioniert - kann man entweder zur Probe anwenden oder auch wenn eine Funktion sehr kompliziert ist (mit Brüchen und Wurzeln)

super vielen Dank 🙂, bei einem Bsp komme ich aber nicht hin, was mache ich falsch?

x = 5r1*r2 (t = 2)
wenn ich für r1 = 1 einsetze und für r2 = 2 dann ist x = 10
wenn ich für r1 = 2 einsetze und für r2 = 4 dann ist x = 40 (Ver4fachung)
wenn ich für r1 = 4 einsetze und für r2 = 8 dann ist x = 160 (Ver4fachung)
(t = 2) -> ok

x=2r1^2 + 4r1*r2 (t = 2)
wenn ich für r1 = 1 einsetze und für r2 = 2 dann ist x = 10
wenn ich für r1 = 2 einsetze und für r2 = 4 dann ist x = 40 (Ver4fachung)
wenn ich für r1 = 4 einsetze und für r2 = 8 dann ist x = 160 (Ver4fachung)
(t = 2) -> ok

x=3r2 + 3r1*r2 (Prod.funkt = inhomogen)
wenn ich für r1 = 1 einsetze und für r2 = 2 dann ist x = 12
wenn ich für r1 = 2 einsetze und für r2 = 4 dann ist x = 36 (Ver3fachung)
wenn ich für r1 = 4 einsetze und für r2 = 8 dann ist x = 120 (Ver 3,3 fachung)
(t = inhomogen) -> ok

x=r1^2 + r1*r2 / 6r1 + 5r2 (t = 1)
wenn ich für r1 = 1 einsetze und für r2 = 2 dann ist x = 0,125
wenn ich für r1 = 2 einsetze und für r2 = 4 dann ist x = 0,375 (Ver3fachung)
wenn ich für r1 = 4 einsetze und für r2 = 8 dann ist x = 0,75 (Ver2fachung)
(t = 1) -> ?

x=r1^2 + 2r1 * r2^2 / r1 + r2^ 2 (Prod.funkt = inhomogen)
wenn ich für r1 = 1 einsetze und für r2 = 2 dann ist x = 1,6
wenn ich für r1 = 2 einsetze und für r2 = 4 dann ist x = 2,5 (Ver 1,5 fachung)
wenn ich für r1 = 4 einsetze und für r2 = 8 dann ist x = 7,76 (Ver 3,1 fachung)
(t = inhomogen) -> ok

x= r2^4 + 2*r1^4 + 5 *r1^2 * r2^2 (t = 2)
wenn ich für r1 = 1 einsetze und für r2 = 2 dann ist x = 6,1644
wenn ich für r1 = 2 einsetze und für r2 = 4 dann ist x = 24,657 (Ver4fachung)
(t = 2) -> ok

x=r1^2 + r1*r2 / 6r1 + 5r2 (t = 1)
wenn ich für r1 = 1 einsetze und für r2 = 2 dann ist x = 0,1875 !
wenn ich für r1 = 2 einsetze und für r2 = 4 dann ist x = 0,375 (Ver2fachung)
wenn ich für r1 = 4 einsetze und für r2 = 8 dann ist x = 0,75 (Ver2fachung)
(t = 1) -> OK

(man muss beim Taschenrechner aufpassen, dass man keine Klammer vergisst ...
ist mir auch schon des öfteren passiert)

@Regina: bei der Minimalkostenkombination hätte ich gerne mitgeübt, da ich nur den Weg über die Grenzproduktivitäten kann, Lagrange kenne ich nur vom Marketingteil / Absatzprogrammplanung. Über die Vorteilstabelle weiß ich leider überhaupt nicht Bescheid und würde mich freuen, wenn du mir diese Methode zeigst ...

eek:ich hatte einen Fehler:
Das ist eine Optimierungsaufgabe und der Nebenbedingung:
Optimiere 2*r1^0,4*r2^0,6 unter der Nebenbedingung 750 = 2*r1^0,4*r2^0,6

Lösungsmöglichkeit mit Vorteilstabelle:
r2 = 90
r1 = 30
X = 115,99
das ist richtig.

Lösungsmöglichkeit mit GP:
r1 = 0,06r2; diese setze ich in die Nebenbedingung ein und bekomme
r2 = 133,92, damit rechne ich
r1 = 8,0352 und
x = 86,92
das ist falsch, wo der Fehler liegt weiß ich noch nicht

Lösungsmöglichkeit mit ƛ:
r2 = 0,032 r1; diese setze ich in die Nebenbedingung ein und bekomme
r1 = 73,81, damit rechne ich
r2 = 2,36 und
x = 18,70
das ist auch falsch, wo der Fehler liegt weiß ich noch nicht

ich weiß nicht welche ich Fehler ich bei der Rechnerei mache :eek

Fehler gefunden - Lösungsmöglichkeit mit GP:
r2 = 3r1; diese setze ich in die Nebenbedingung ein und bekomme
r2 = 90
r1 = 30
X = 115,99
das ist richtig

Regina, danke für deine Bsp ! 🙂
Hab sie mir nun alles genauer angesehen:

1. Bsp: da komme ich mittels GP-Methode auf das gleiche Ergebnis wie du, bitte schreib mir aber mal den gesamten Weg der ƛ-Methode auf (ich weiß nicht, wie ich dies aus dem Marketing Skript umsetzen soll...)

2. Bsp.: (Aufgabenblock 3 der Klausur vom 26.03.2014)
habe die Optimierungsbedingung mittels GP gerechnet und komme auch auf r2=9r1
alles andere genau wie du

3. Bsp.: hier bin ich mir nicht sicher
Optimierungsbed.: mittels GP -> r2= 3r1, mittels Vorteilstabelle .> r2=3/4r1
eine Variante muss falsch sein .. auf welches Ergebniss kommst du?
wenn ich mit r2=3r1 weiterrechne, komme ich auf r1=30, r2=90, x=116
Achtung: ich glaub deine drittletzte Zeile stimmt nicht: ich denke, es sollte heißen:
x = 2*r1^0,4*r2^0,6 Nebenbedingung: 750 = 10r1 + 5*r2
Bin schon gespannt, auf welche Ergebnisse du kommst 🙄

Übrigens findest du auf deine ursprüngliche Frage bez. Übungsaufgabe 6 - Grundlagen der Leistungserstellung - Kurs 2 - S 65, auf Moodle Kurs 40531 "Grundlagen der Leistungserstellung" eine Erklärung durch den Lehrstuhl

Jetzt haben sich unsere Beiträge überschnitten: wie kommst du bei der Vorteilstabelle auf r2=3r1 ?

x = 8*r1* 0,5*r2; das Unternehmen soll 5.000 ME produzieren
q1 = 4, q2 = 8; Wie hoch liegen die Prod.kosten mindestens?
Das ist eine Optimierungsaufgabe unter einer Nebenbedingung ->
Optimiere K = 4*r1 + 8 * r2 unter der Nebenbedingung 5000= 8*r1* 0,5*r2

Lösungsmöglichkeit mit ƛ:
1. Umformen der Nebenbedingung:
8*r1* 0,5*r2 - 5000 = 0

2. Herleiten der ƛ-Funktion:
L = 4*r1 + 8 * r2 - ƛ * 8 ( 8*r1* 0,5*r2 - 5000 )

3. Ermittlung der Extremwerte:
L'r1 = 4 - 8 * ƛ + 0,5r2 = 0
L'r2 = 8 - 0,5 * ƛ * 8r1 = 0
L'ƛ = - 8r1 * 0,5r2 + 5000 = 0

4 - 8 * ƛ + 0,5r2 = 0
ƛ = 1r2

8 - 0,5 * ƛ * 8r1 = 0
ƛ = 2r2

r1 = 1/2 r2
r2 = 25
r1 = 1/2 r2 -> r1 = 1/2 * 25 = 50

@rhstw: wie kommst du bei der Vorteilstabelle auf r2=3r1 ?

r2 = 9r1

Aufgabenblock 3 der Klausur vom 26.03.2014
Aufgabe 7 ist eine Optimierungsaufgabe und der Nebenbedingung:
Optimiere K = r1*q1 + r2*q2 unter der Nebenbedingung 90 = 3*r1^0,5*r2^0,5

diese habe ich nur mit der Vorteilstabelle gerechnet (geht nur wenn sich die Exponenten zu 1 addieren). Vorteilstabelle:
Exponent des einen Faktors mit dem Preisvorteil des anderen Faktors multiplizieren:
Faktor r1 = 0,5 (r1) * 1 (q2) = 0,5
Faktor r2 = 0,5 (r2) * 9 (q1) = 4,5
und jetzt überkreuz:
4,5 r1 = 0,5 r2 / :0.5
9 r1 = r2

a) r2 = 9r1 -> das ist die Optimumsbedingung, die du
b) in die Nebenbed einsetzt:
90 = 3*r1^0,5*r2^0,5
90 = 3*r1^0,5*(9r1)^0,5 usw.
Ergebnis: Aufgabe 7: r2 = 90 und r1 = 10

ich komme bei der Langrange Funktion leider nicht weiter:

x = 2*r1^0,4*r2^0,6;
q1 = 10, q2 = 5;
Das ist eine Optimierungsaufgabe und der Nebenbedingung:
Optimiere 2*r1^0,4*r2^0,6 unter der Nebenbedingung 750 = 2*r1^0,4*r2^0,6

Lösungsmöglichkeit mit ƛ:
1. Umformen der Nebenbedingung:
10r1 + 5r2 - 750 = 0

2. Herleiten der Langrange Funktion
L = 2*r1^0,4*r2^0,6 - ƛ * (10r1 + 5r2 - 750)

3. Ermittlung der Extremwerte
L'r1 = 0,8r1^-0,6 * r2^0,6 - 10ƛ = 0
L'r2 = 2r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 - 5ƛ = 0
L'ƛ = 10r1 + 5r2 - 750 = 0

0,8r1^-0,6 * r2^0,6 = 10ƛ
0,8r1^-0,6 * r2^0,6 / 10 = ƛ

2r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 = 5ƛ
2r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 / 5 = ƛ


0,8r1^-0,6 * r2^0,6 / 10 = 2r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 / 5

r2^0,6 / 0,8r1^0,6 = 2r1^0,4 / 3 r2^0,4

r2^0,6 * 3 r2^0,4 = 0,8r1^0,6 * 2r1^0,4

3 r2 = 16 r1

richtig wäre:
r1 = 1/3 r2
r2 = 3r1

:eek

Optimiere 2*r1^0,4*r2^0,6 unter der Nebenbedingung 750 = 2*r1^0,4*r2^0,6

Vorteilstabelle:

Exponent des einen Faktors mit dem Preisvorteil des anderen Faktors multiplizieren:
Faktor r1 = 0,4 (r1) * 5 (q2) = 2
Faktor r2 = 0,6 (r2) * 10 (q1) = 6
und jetzt überkreuz:
6 r1 = 2 r2
r1 = 2/6 r2 = 1/3 r2
r2 = 6/2 r1 = 3 r1

in die Nebenbedingung einsetzen:
10r1 + 5r2 = 750
10 * 1/3 r2 + 5 r2 = 750
r2 = 90

r1 = 1/3 * r2 = 1/3 * 90 = 30

Max. Prod.menge =
x = 2 * 30^0,4 * 90^0,6 = 115,99

Ich denke, ich habe die Fehler bei Lagrange gefunden:

Du hast im linken Teil „10“ im Nenner übersehen (rot) und außerdem darfst du die Zahlen (grün), die vor dem Faktor mit dem negativen Exponenten stehen, nicht in den Nenner hinunter schreiben, wenn du die Faktoren (r1 bzw. r2) in den Nenner schreibst, um den Exponenten positiv zu machen.


Ich schreibe die Rechnung auf ab der Zeile, wo du die beiden Extremwerte gleichsetzt:


0,8*r1^-0,6 * r2^0,6 / 10 =2*r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 / 5


0,8*r2^0,6/ 10*r1^0,6 = 2*r1^0,4 * 0,6 / 5 * r2^0,4

0,8*r2/10 = 1,2*r1/5

r2= 1,2*10r1 / 5*0,8

r2= 12 r1 /4

r2=3r1

Beim näheren Vergleichen mit der GP-Methode (so hatte ich das Bsp ursprünglich gerechnet) fällt mir allerdings auf, dass der Ansatz bei der GP-Methode

GP r1/ GP r2 = q1 / q2 (für mich leichter zu merken als das Herleiten mittels Lagrange)

0,8*r1^-0,6 * r2^0,6 / 2*r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 = 10 / 5

sehr ähnlich ist.

Man hat die Ableitungen von r1 und r2 und die beiden Faktorpreise, innerhalb der Gleichung zwar nicht an der gleichen Stelle, aber das Weiterrechnen funktioniert dann nach gleichem Schema und führt somit zum gleichen Ergebnis

Am leichtesten ist bei Exponentensumme 1 natürlich die Vorteilstabelle (wenn man es richtig macht)

Exponent Faktor 1 mal Preis Faktor 2 bzw. Exponent Faktor 2 mal Preis Faktor 1 und dies überkreuz anschreiben

ich habe heute PUG gerechnet. Falls du
Klausur 25.09.2008, Aufgabe 4 e und
Klausur 29.03.2007, Aufgabe 5 e gerechnet hast
würden mich deine Ergebnisse interessieren.

0,8*r1^-0,6 * r2^0,6 / 10 =2*r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 / 5
0,8*r2^0,6/ 10*r1^0,6 = 2*r1^0,4 * 0,6 / 5 * r2^0,4
-> das habe ich verstanden, du hast die negativen Exponenten vertauscht

0,8*r2^0,6/ 10*r1^0,6 = 2*r1^0,4 * 0,6 / 5 * r2^0,4
0,8*r2/10 = 1,2*r1/5
-> das verstehe ich nicht, wie kürzt du die Werte weg?

0,8*r1^-0,6 * r2^0,6 / 10 =2*r1^0,4 * 0,6 r2^-0,4 / 5
0,8*r2^0,6/ 10*r1^0,6 = 2*r1^0,4 * 0,6 / 5 * r2^0,4
jetzt hab ichs:
0,8*r2^0,6 * 5 * r2^0,4 = 2*r1^0,4 * 0,6 * 10*r1^0,6
4 r2 = 12 r1
r2 = 3r1

0,8*r2^0,6/ 10*r1^0,6 = 2*r1^0,4 * 0,6 / 5 * r2^0,4

ich bringe die im Nenner stehenden Faktoren r1 und r2 auf die jeweils andere Seite der Gleichung in den Zähler (aus "geteilt durch" wird "mal")

0,8*r2^0,6* r2^0,4/ 10* = 2*r1^0,4 * 0,6 *r1^0,6 / 5

und dann multipliziere ich alles (Exponenten addieren - ergibt jeweils ^1):
0,8*r2/ 10 = 1,2*r1/ 5

PUG:
Klausur 29.03.2007, Aufgabe 5 e1) 65, e2) 69,333
Klausur 25.09.2008, Aufgabe 4 e1) 160, e2) 173,5

Sep 2008 - e1
DB von Handal = 100ME*8=800
PUG = 152 + 800/100 = 160

Sep 2008 - e2
DB von Handal = 130ME*8=1040
DB von Hopfen = 270ME*28=7560
gesamt DG ist = 400 ME mit 8.600 ME
PUG = 152 * 8600/400 = 173,50

und wenn du das Bsp vom März 2007 mit genau demselben Rechenvorgang rechnest erhältst du
März 2007 - e1
PUG = 50 + 4500/225 = 70
März 2007 - e2
PUG = 50 + 8600/375= 73,90

es wird aber so gerechnet
März 2007 - e1
PUG = (300*50) + 4500/300 = 70
März 2007 - e2
PUG = (450*50) + 8700/450= 73,90

wieso :cool

Warum teilst du eigentlich bei der ersten Variante vom März 2007 durch 225 bzw. 375? Der Zusatzauftrag ist ja 300 bzw. 450 ME. (Beim Bsp Sep 08 hast du ja auch durch die Menge des Zusatzauftrages 400 geteilt)
Bei der zweiten Variante verstehe ich den Klammerausdruck (300*50) bzw. (450*50) nicht. Außerdem führt die Rechnung nicht zum angegebenen Ergebnis ...

Ich habe e2 von 2007 wie folgt gelöst:
entgangener DB Piro: 20*300=6000
entgangener DB Bella: 36*75=2700
gesamt 8700 / 450 = 19,333+50 = 69,33

e1: entgangener DB Piro: 20*225=4500 /300=15+50=65

richtig 🙂 vielen Dank. Hab einen Knopf im Kopf gehabt

Wie errechne ich die Aufgabe1 - e) aus der Klausur vom 30. März 2006 ? 😱
nachdem sich die Ausbringungsmenge ändert kann ich nicht einfach in die Kostenfunktion die neuen Werte einsetzen - irgendwie muss ich die neue Menge x berücksichtigen - nur wie

diese Aufgabe ist ähnlich der Aufgabe 1 c) (2) -> hier ändert sich jedoch die Ausbringungsmenge nicht, also brauche ich nur q2 neu berechnen, indem ich alle anderen gegebenen Werte in die Kostenfunktion einsetze.

Hab ich jetzt ziemlich kompliziert gemacht, wahrscheinlich geht es auch einfacher ...

zunächst habe ich r1 und r2 mit der Ausbringungsmenge x=40 neu berechnet
40= 3 *r1^1/3* 8^2/3 * r1^2/3
-> r1= 3,333333 periodisch
-> r2=26,666666 periodisch -

dann diese Werte in die Kostenfunktion einsetzen:
144= q1*3,333333 + 4*26,666666
(144 - 106,666664) / 3,33333 = q1
37,333336 / 3,333333 =q1
q1neu =11,2 (Musterlösung 11 - könnte also stimmen, mich verwirren aber etwas die periodischen Zahlen und bin ich nicht sicher, ob alles korrekt ist)

Vielleicht weiß jemand einen anderen (einfacheren) Rechenweg ???

Was ich überhaupt nicht kann, ist die nächste Frage "Veranschaulichen Sie den Sachverhalt grafisch und wählen Sie die richtige Aussage ... keine Ahnung wie die Rechnungen von oben als Grafik aussehen 😱 - vielleicht könntest du mir bitte deine Grafik einscannen und erklären.
Wenn möglich bitte auch f)vi) und vii) auf Seite 4