Aufgabe:
Eine Grundgesamtheit sei normalverteilt mit μ = 0 und σ = 5. Es wird eine einfach Zufallsstichprobe vom Umfang 49 entnommen.
Für welchen Wert a > 0 gilt dann P(│Xquer│ ≤ a) = 0,95, wobei Xquer den Stichprobenmittelwert bezeichnet?
Musterlösung: 1,4
Xquer ist in diesem Fall N(μ;σ/Wurzel49), d.h. N(0;5/7)-verteilt.
Es gilt deshalb P(│Xquer│≤ z(1-α/2) x 5/7) = 1-α
speziell für α = 0,05: P(│Xquer│≤ z(0,975) x 5/7) = 0,95
Daraus folgt: a = z(0,975) x 5/7 = 1,96 x 5/7 = 1,4.
Meine Anmerkung:
Du musst die Varianz des Stichprobenmittelwertes bestimmen, siehe dazu Tabelle im Glossar Seite 60. Das ist in diesem Fall die Varianz der Grundgesamtheit geteilt durch n.
Daraus folgt: Varianz des Stichprobenmittelwertes = 5²/49 = 0,51..
Meines Erachtens liegt hier insoweit ein Fehler vor, als in der ersten Zeile der Musterlösung Xquer als N(0,Standardabweichung)-verteilt bezeichnet wird, richtig wäre aber die Varianz 25/49. Gut, das ist erstmal nur ein Notationsfehler, weil die Rechnung später ist schon richtig.
Ist dir der Rest klar?
