Übungsbuch Fandel Aufgabe 5.10 b

Diese Frage stelle ich mir auch.

Habe es auch über die Rechenwege probiert, komme aber auch auf dieselben Ergebnisse wie im ersten Thread. Warum, weiß ich nicht.

T4fk4D schrieb:

zumal bei dieser Aufgabe noch ein dritter Prozess existiert, der aber gem. Lösung ausscheidet.

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Zurecht!

Wenn man

- die Prozessstrahlen von I, II, III in ein Schaubild zeichnet
- die Produktionspunkte von I, II, III für x = 100 einzeichnet und dann
- Die Produktionspunkte für x = 100 verbindet und so die Prozesskombinationen die x = 100 produzieren erhält
- die Faktorbegrenzungen r1max = 350 und r2max = 370 einzeichnet

wie es in der Lösung zu b) in Abb. 5.10.2 gemacht wurde, dann erkennt man, das weder die Prozesse I, II, III alleine noch irgendeine Prozesskombination II/III den Output x = 100 überhaupt produzieren können, weil deren jeweiliger Produktionsbereich ausserhalb des Rechtecks liegt, das durch die Koordinatenachsen und die Faktorbegrenzungen r1max = 350 und r2max = 370 gebildet wird. Nur ein Teil der Prozesskombinationen I/II und I/III kann mit den Faktorbegrenzungen den Output x = 100 produzieren (das ist der Teil der Verbindungslinie zwischen Produktionspunkten von I/II und I/III für x = 100, der innerhalb des Rechtecks liegt).

Aus dem Schaubild erkennt man auch dass es zwar Prozesskombinationen I/III gibt, die x = 100 herstellen können (Teil der Verbindungslinie der Produktionspunkte von I und III für x = 100, der sich innerhalb des Rechtecks befindet). Diese kommen als kostenminimale Lösung jedoch nicht in Frage, weil man auch erkennt, dass jede Prozesskombinationen I/III ineffizient ist, weil sie von einer Kombination I/II oder II/III dominiert wird.

Gesucht ist also auf jedenfall eine Prozesskombination I/II. Prozess III ist nicht beteiligt.

Dass Prozess III nicht beteiligt ist, kann man auch ausrechnen, aber mit dem Schaubild der Prozessstrahlen ist es einfacher erkennbar.

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

Dass Prozess III nicht beteiligt ist, kann man auch ausrechnen,

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Eine Prozesskombination II/III kann x = 100 nicht produzieren, weil:

Die Produktionskoeffizienten einer Kombination von II und III lauten:

a1 = 4 * p + 5 * (1-p) = 5 - p
a2 = 3 * p + 2,5 * (1-p) = 2,5 + 0,5 * p

mit 0 <= p <= 1

Die Faktoreinsatzmengen für x = 100 lauten für einen Prozess mit mit 0 <= p <= 1:

r1 = (5 - p) * 100 = 500 - 100 * p
r2 = (2,5 + 0,5 * p) * 100 = 250 + 50 * p

Wegen 0 <= p <= 1 ist:

400 <= r1 <= 500
250 <= r2 <= 300

Man erkennt, dass von Faktor 1 mindestens r1min = 400 eingesetzt werden müssen, was wegen der Faktorbegrenzung r1max = 370 nicht möglich ist. Keine Prozesskombination II/III kann also x = 100 herstellen. Dasselbe kann man schon aus dem Schaubild der Prozessstrahlen ablesen.

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

Gesucht ist also auf jedenfall eine Prozesskombination I/II.

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Und welche Kombination I/II ist nun am kostengünstigsten?


Dazu berechnen wir die Kosten für x = 100 für eine beliebige (realisierbare) Prozesskombination und wählen die kostenminimale.

Die Produktionskoeffizienten einer I/II Kombination lauten:

a1 = 3 * p + 4 * (1-p) = 4 - p
a2 = 4 * p + 3 * (1-p) = 3 + p

wobei 0 <= p <= 1 ist.

Wegen r1max = 350 und r2max = 370 gilt für die Herstellung von x = 100:

r1 = a1 * x = (4 - p) * 100 <= r1max = 350
p >= 4 - 350/100 = 0,5

r2 = a2 * x = (3 + p) * 100 <= r2max = 370
p <= 370/100 -3 = 0,7

Die Prozesskombinationen I/II im Bereich 0,5 <= p <= 0,7 können also x = 100 unter Beachtung der Faktorhöchstmengen herstellen (Das ist der Abschnitt der Verbindungslinie der Prozess I und II für x = 100, der im Rechteck der Faktorbeschränkungen liegt).

Kosten für x = 100 mit einer Prozesskombination I/II:

K
= q1 * r1 + q2 * r2
= 20 * (4 - p) * 100 + 50 * (3 + p) * 100
= 8000 - 2000 * p + 15000 + 5000 * p
= 23000 + 3000 * p

Man erkennt: Je kleiner p, desto kostengünstiger die Produktion. Da p im Bereich 0,5 <= p <= 0,7 liegen muss, ist die Produktion also für die Kombination mit p = 0,5 kostenminimal, d.h.

r1 = (4 - p) * 100 = (4 - 0,5) * 100 = 350
r2 = (3 + p) * 100 = (3 + 0,5) * 100 = 350

r1I = 3 * p * 100 = 3 * 0,5 * 100 = 150
r1II = 4 * (1-p) * 100 = 4 * (1-0,5) * 100 = 200

r2I = 4 * p * 100 = 4 * 0,5 * 100 = 200
r2II = 3 * (1-p) * 100 = 3 * (1-0,5) * 100 = 150

xI = r1I/3 = 150/3 = 50 (= 200/4 = r2I/4)
xII = r1II/4 = 200/4 = 50 (= 150/3 = r2II/3)

x = xI + xII = 50 + 50 = 100

Kostenminimal wird x = 100 also mit einer Kombination der Prozesse I und II hergestellt, wobei beide Prozesse die Hälfte (xI = xII = 50) produzieren.

Die Kosten belaufen sich dann auf Kmin = 23000 + 3000 * 0,5 = 24.500 Euro

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

Und welche Kombination I/II ist nun am kostengünstigsten?

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Alternative Idee:

Zunächst die Kostenfunktion der Prozesse I und II berechnen:

I: KI(x) = q1 * r1 + q2 * r2 = 20 * 3 * x + 50 * 4 * x = 260 * x

II: KII(x) = q1 * r1 + q2 * r2 = 20 * 4 * x + 50 * 3 * x = 230 * x

KII(x) < KI(x), d.h. Prozess II ist günstiger als Prozess I.

Deshalb produziert man mit I/II dann am kostengünstigsten, wenn man mit Prozess II (den günstigeren) so viel produziert wie möglich und wie der übrigbleibende Rest mit Prozess I produziert werden kann (unter Beachtung der Faktormengenbeschränkungen).

Man erkennt aber wegen der Produktionskoeffizienten der Prozesse, dass Faktor 1 der "Engpassfaktor" ist. Die Erhöhung von Faktor 1 in Prozess II wird ab einer gewissen Menge dazu führen, dass x = 100 nicht mehr produziert werden kann, weil für den Produktionsanteil von Prozess I nicht mehr genug Menge von Faktor 1 zur Verfügung steht.

Einen formalen Lösungsweg zur Bestimmung dieser kritischen Menge habe ich aber nicht. Die folgenden Ausführungen illustrieren daher nur die Idee...

Für r1II = 200 gilt:

xII = r1II/4 = 200/4 = 50
r2II = 3 * xII = 3 * 50 = 150

xI = x - xII = 100 - 50 = 50
r1I = 3 * xII = 3 * 50 = 150
r2I = 4 * xII = 4 * 50 = 200

r1 = r1I + r1II = 150 + 200 = 350 <= 350 = r1max
r2 = r2I + r1II = 200 + 150 = 350 <= 370 = r2max

Also: Die Produktion von x = 100 mit I/II ist mit r1II = 200 realisierbar!

Wenn r1II jetzt aber "ein wenig" erhöht wird, z.B. r1II = 200,001 dann ist die Produktion nicht mehr realisierbar, denn:

Für r1II = 200,001 gilt:

xII = r1II/4 = 200,001/4 = 50,00025
r2II = 3 * xII = 3 * 50 = 150,00075

xI = x - xII = 100 - 50,00025 = 49,99975
r1I = 3 * xII = 3 * 49,99975 = 149,99925
r2I = 4 * xII = 4 * 49,99975 = 199,999

r1 = r1I + r1II = 149,99925 + 200,001 = 350,00025 >= 350 = r1max

Also: Die Produktion von x = 100 mit I/II ist ist mit r1II = 200,001 NICHT realisierbar!

Also: Mit r1II = 200 produziert man x = 100 mit Prozess II (den kostengünstigeren) "so viel wie möglich" und den Rest mit Prozess I, so dass die Faktormengenbeschränkungen eingehalten werden, d.h. die Produktion überhaupt realisierbar ist.

Liebe Grüße

Ein weiterer Lösungsweg:

Kostenfunktion der Prozesse I und II berechnen:

I: KI(x) = q1 * r1 + q2 * r2 = 20 * 3 * x + 50 * 4 * x = 260 * x

II: KII(x) = q1 * r1 + q2 * r2 = 20 * 4 * x + 50 * 3 * x = 230 * x

KII(x) < KI(x), d.h. Prozess II ist günstiger als Prozess I.

Folgende Idee: Solange eine Outputmenge ausschließlich mit dem kostengünstigeren Prozess II produziert werden kann wird das auch gemacht.

Maximaler Output von Prozess II:

x = min{r1max/4; r2max/3} = min{350/4; 370/3} = min {87,5; 123,33} = 87,5

Das Maximum x = 87,5 mit Prozess II wird mit r1 = 4 * 87,5 = 350 = r1max und r2 = 87,5 * 3 = 262,5 < r2max = 370 produziert.

Die Idee ist nun dass jede Produktionsmenge x > 87,5 mit einer Kombination von I und II und immer mit r1 = r1max = 350 produziert wird. Denn, würden weniger als r1 = 350 verwendet, dann könnte auch nur Prozess I verwendet werden und dieser wäre kostengünstiger.

Es gilt also für die Produktionsmenge x = 100:

r1 = r1max = 350 = 3 * xI + 4 * xII

x = 100 = xI + xII

Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten xI und xII, die eindeutig lösbar ist:

350 = 3 * xI + 4 * xII = 3 * xI + 4 * (100 - xI) = 400 - xI

xI = 400 - 350 = 50

xII = 100 - xI = 100 - 50 = 50

Auch hier erhält man die Lösung, dass beide Prozesse je die Hälfte produzieren, d.h. xI = xII = 50.

Liebe Grüße