Eine Basis hat ja die Eigenart, dass sie aus l.u. Vektoren besteht. (Def. 3.2.9)
In Definition 3.2.7 heißt es, die Dimension eines Vektorraums ist die maximal mögliche Zahl l.u. Vektoren, und eins weiter in Korollar 3.2.8 steht: die Dimension des R^n ist n.
Also kann es im R^3 (Dimension=3) nur maximal 3 l.u. Vektoren geben. Wenn Du im R^3 4 Vektoren hast, sind die nicht mehr l.u., und daraus folgt auch, dass die keine Basis bilden können.