Warum bilden vier Vektoren keine eine Basis des R 3?

Im R2 sind 3 Vektoren immer linear abhängig. Im R3 sind 4 Vektoren immer linear abhängig. Kann mir jemand erklären warum das so ist? Es gibt doch Konstellationen bei denen das Skalar nur Null ist. Dann hätten wir doch auch im R2 3 linear unabhängige Vektoren.

Nenn doch mal bitte 3 Vektoren, die lin. unabhängig im R2 sind. Du wirst keine 3 finden!

edit: "Es gibt doch Konstellationen bei denen das Skalar nur Null ist" Nenn mir die mal, dann können wir dir aufzeigen, was falsch ist.

Bsp

Mmh, habe gerade mal zwei Beispiele aufgestellt und gerechnet und bekomme zweimal Skalare ungleich Null raus. somit bestätigt das ja die regel
aber das reicht mir irgendwie noch nicht zum Verständnis? 😡
naja, ich merks mir erstmal und warte mal bis es sich setzt

Also ich versuche es mal bildlich zu erklären:

R3 ist ein Raum, der hat Länge, Breite, Höhe, also 3 verschiedene Richtungen. Wenn du jetzt einen Vektor dazu nimmst, kann er nur entweder Länge oder Breite oder Höhe sein. Im R3 gibt es keine 4. Richtung.

Gruß

Danke!

Das kann man sich doch mal vorstellen 😉.

Eine Basis hat ja die Eigenart, dass sie aus l.u. Vektoren besteht. (Def. 3.2.9)

In Definition 3.2.7 heißt es, die Dimension eines Vektorraums ist die maximal mögliche Zahl l.u. Vektoren, und eins weiter in Korollar 3.2.8 steht: die Dimension des R^n ist n.

Also kann es im R^3 (Dimension=3) nur maximal 3 l.u. Vektoren geben. Wenn Du im R^3 4 Vektoren hast, sind die nicht mehr l.u., und daraus folgt auch, dass die keine Basis bilden können.