Zwei Nutzenfunktionen U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab, wenn U eine streng monoton steigende Transformation von V ist oder V eine streng monoton steigende Transformation von U ist.
Definition: Die Funktion f ist eine streng monoton steigende Transformation der Funktion g wenn es eine Funktion h gibt für die (1) und (2) gilt:
(1) h ist überall streng monoton steigend
(2) f = h ° g, d.h. f(x) = h(g(x)) für alle x ("f ist die Verkettung von h mit g")
Die Idee dahinter: Die streng monoton steigende ("Transformations-") Funktion h "erhält" bei der Transformation von U nach V die ordinalen Beziehungen zwischen den Nutzwerten von U, also die Präferenzrelation, die U abbildet, d.h. es gilt
- U(A) > U(B) genau dann wenn V(A) = h(U(A)) > h(U(B)) = V(B)
- U(A) < U(B) genau dann wenn V(A) = h(U(A)) < h(U(B)) = V(B)
- U(A) = U(B) genau dann wenn V(A) = h(U(A)) = h(U(B)) = V(B)
Deshalb bildet V dieselbe Präferenzrelation wie U ab.
Beispiel:
U(X1, X2) = X1 * X2
V(X1, X2) = 3 * (X1 * X2)^2 - 5
Sei h(X) = 3 * X^2 - 5
Dann gilt:
(1) h ist überall streng monoton steigend, da dh/dX = 6 * X > 0 für alle X > 0
(2)
V(X1, X2)
= 3 * (X1 * X2)^2 - 5
= 3 * U(X1, X2)^2 - 5
= h(U(X1, X2))
Also V = h ° U
Damit: V ist eine streng monoton steigende Transformation von U, d.h. V und U sind Nutzenfunktionen zur selben Präferenzordnung.
Es gilt bei diesen Aufgaben also zu erkennen, ob in den Nutzenfunktionen eine streng monoton steigende Funktion h "versteckt" ist vermittels der die eine Nutzenfunktion durch Verkettung mit dieser (Transformations-) Funktion h die andere Nutzenfunktion ergibt.
Liebe Grüße
