Eingipfligkeit vs. Condorcet-Gewinner

OekonomieIstAlles schrieb:

Heute morgen im Zug war's wieder da - das Brett, direkt vor meinem Kopf; und zwar bei der Lektüre über Eingipfligkeit:

Zum Vergrößern anklicken....

PVC? Prett vorm Copp? Hilfe naht!

OekonomieIstAlles schrieb:

1. Ich kapier einfach nicht, wie man das aus den Grafiken ablesen soll? Nehmen wir die Übung 2.4.2.5, mit den 6 Graphen: Die Nutzenkurven bei den im 1. Absatz unter den Graphen bezeichneten Individuen sollen alle zwei Gipfel haben? - sehe ich nicht 😡 😕

Zum Vergrößern anklicken....

Nicht alle Kurven haben zwei Gipfel, sondern jeweils nur eine oder zwei. Welche, das steht auch unter der Grafik drunter. Eingipfligkeit gibt es aber nur, wenn alle Kurven nur einen Peak haben.

OekonomieIstAlles schrieb:

2. Was ist eigentlich der Unterschied zum Condorcet-Gewinner?

Zum Vergrößern anklicken....

Aaaaalso: Condorcet Gewinner = Alternative, die bei paarweisen Abstimmungen immer Siegerin ist, egal in welcher Reihenfolge abgestimmt wird.

Eingipfligkeit ist eine Möglichkeit, die Existenz eines Condorcet-Gewinners festzustellen. Du ordnest die Alternativen in jeder beliebigen Reihenfolge an (sog. Permutation) und schaust, ob die entstehenden Kurven eingipflig sind.

Gibt es eine Reihenfolge (Permutation), in der alle Kurven eingipflig sind, dann existiert auch ein Condorcet-Gewinner. Wenn es n Wähler gibt, musst Du dazu den Peak an der (n+1)/2-ten Stelle suchen. Die Alternative, über der dieser Peak steht, ist die Condercet-Gewinnerin. Der zu der Kurve zugehörige Wähler ist der Medianwähler.

Diese Methode hat Nachteile: 1. ist sie kompliziert, weil man viele Permutationen ausprobieren muss, wenn man Pech hat. 2. funktioniert sie nur bei ungerader Wählerzahl. Und 3. kann es einen Condorcet-Gewinner geben, obwohl die Präferenzen nicht eingipfig sind.

kridbonn schrieb:

Nicht alle Kurven haben zwei Gipfel, sondern jeweils nur eine oder zwei. Welche, das steht auch unter der Grafik drunter. Eingipfligkeit gibt es aber nur, wenn alle Kurven nur einen Peak haben.

Zum Vergrößern anklicken....

DDD (Danke Dir Dirk) - auf der Rückfahrt gestern kam ich der Sache auch schon wieder etwas näher. Ich habs mir jetzt so gemerkt: Der "Gipfel" der Graphen kann auch nach unten zeigen - dann ist es auch nicht mehr eingipflig 😱 😱

OekonomieIstAlles schrieb:

DDD (Danke Dir Dirk) - auf der Rückfahrt gestern kam ich der Sache auch schon wieder etwas näher. Ich habs mir jetzt so gemerkt: Der "Gipfel" der Graphen kann auch nach unten zeigen - dann ist es auch nicht mehr eingipflig 😱 😱

Zum Vergrößern anklicken....

BSR (Bitte schön, René) – einen Gipfel nach unten kann man auch Tal nennen. 😛 Gibt es ein Tal, ist's nicht eingipflig (denn für ein Tal braucht's ja mal mindestens zwei Gipfel drumrum...)

kridbonn schrieb:

BSR (Bitte schön, René) – einen Gipfel nach unten kann man auch Tal nennen. 😛 Gibt es ein Tal, ist's nicht eingipflig (denn für ein Tal braucht's ja mal mindestens zwei Gipfel drumrum...)

Zum Vergrößern anklicken....

Ich sag ja: Alles hängt mit Allem zusammen - nun sind wir mitten drin in der Lehre von der Geografie und beantworten damit politische Fragen aus ökonomischer Sichtweise; herrlich die Interdisziplinarität

Hm, so richtig schlau macht mich das nicht. Betrachtet man eben die Abbildungen der Übung 2.4.2.5
In der 1. Abbildung verletzt angeblich nur H3 die Definition, aber was ist mit H1? Von der höchsten Präferenz aus geht´s nur bergab, vorher aber nicht bergauf, denn es ist ja ein Gerade.
Ich verstehe durchaus den Condorcet-Gewinner aus den paarweisen Vergleichen zu ziehen, aber wie darf ich bitte die Eingipfligkeit einer Geraden verstehen???

seth schrieb:

In der 1. Abbildung verletzt angeblich nur H3 die Definition, aber was ist mit H1? Von der höchsten Präferenz aus geht´s nur bergab, vorher aber nicht bergauf, denn es ist ja ein Gerade.
Ich verstehe durchaus den Condorcet-Gewinner aus den paarweisen Vergleichen zu ziehen, aber wie darf ich bitte die Eingipfligkeit einer Geraden verstehen???

Zum Vergrößern anklicken....

Für Eingipfligkeit muss der Graph nicht unbedingt auch bergauf gehen – es reicht, wenn es vom höchsten Punkt aus in eine oder beide Richtungen nur bergab geht. Insofern ist eine Gerade also immer eingipflig.

Da sagt die Definition im Skript etwas anderes aus:
"Eingipflig werden die Präferenzen aller n Wähler über die m Alternativen dann genannt, wenn die Alternativen in eine solche Reihenfolge gebracht werden können, daß sich die Präferenzen jedes einzelnen Wählers über diese Alternativen durch eine Kurve darstellen lassen, die von der Alternativen mit der höchsten Präferenz aus nach beiden Seiten monoton fällt"
Diese Eigenschaft kann eine Gerade aber nunmal nicht erfüllen. Bin mal gespannt, wie der Herr Pott mir das erklärt...

Ein bißchen Phantasie, Seth! Wenn Du auf der höchsten Stelle der Geraden stehst, geht's nach beiden Seiten abwärts: auf der einen einen kannst du die Gerade entlang herunterrutschen, auf der anderen stürzt Du in die Tiefe 😱😱

Wer's genau wissen möchte, mag mal in Bamberg/Coenenberg: Entscheidungstheorie nachschlagen. Da ist das auch gut erklärt. Jedenfalls hat ist das so, wie hier beschrieben. Es ergibt sich eben EIN Gipfel, d. h. eine Alternative bekommt einen eindeutigen Vorrang gegenüber anderen Alternativen eingeräumt. Eine ZWEIGIPFLIGE Version würde ähnlich wie der Buchstabe "V" aussehen: Von links nach rechts fällt man von einem (zugegebenermaßen Pseudo-)Gipfel nach unten und steigt dann wieder zu einem (Pseudo-)Gipfel nach oben. Insg. befinden sich dann zwei Alternativen auf einer Höhe; es gibt keinen eindeutigen Gewinner. Das ist mit der Eingipfligkeit gemeint.

LOL, Du wirst es kaum glauben, aber dieses Bild hatte ich auch schon im Kopf.
Also ist die Definition im Skript eigentlich falsch.

Zur Vollständigkeit hier die gut verständliche Antwort von Herrn Pott:
Wenn Sie die Definition 2.2 betrachen (Basiskurs, nicht die mit eigenen Worten verfasste im Übungskurs), werden Sie feststellen, dass das monoton fallende mathematisch formal nicht zu halten ist. Das geht schon nicht auf Grund der Tatache, dass man für Monotonie eine stetige Funktion benötigt, die in einer solchen Alternativenauswahl nicht gegeben ist. Für Die „Randlösung“ würden dann auch andere Regelungen gelten. Die in eingenen Worten dargestellte Defintion soll die Idee vermitteln, die hiner der Eingipfligkeit steht. Wenn gelten würde, wie Sie es interpretieren würde es vermutlich nie eine Eingipfligkeit geben es sei den es handelt sich um Einstimmigkeit. Die Eingipligkeit ist also immmer erfüllt, wenn es für jeden Graph nur einen Gipfel gibt, also auch für „Geraden“. In Definition 2.2 wäre das der Fall, wenn es bspw. keine Indizes Pi(h,) Pi(k)> Pi(j) gibt. In der Defintion wird ja nicht gefordert, dass es beide Indizes geben muss, sondern nur, dass wenn es sie gibt, gewisse Anforderungen erfüllt werden müssen (sollen). Das stellt dann dar, dass es sich um einen Rand handelt.