Lineare Algebra Eigenwerte

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Mark.Anthony

Dr Franke Ghostwriter
Wie in einer 2x2 Matrix das von statten geht ist mir klar.

Aber ich verstehe nicht wie das in einer 3x3 Matrix oder 4x4 Matrix geht. Könnte mir das bitte jemand anhand eines Beispieles erläutern.
 
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Also am Beispiel der Matrix aus der EA, ohne Anspruch auf Richtigkeit 😉

Wenn man Lambda mit der Einheitsmatrix multipliziert, werden alle Einsen mit Lambdas gefüllt. Das subtrahiert man von A und erhält (ich setze mal x-e statt Lambda ein):

1-x 1 1
1 2-x 3
0 1 2-x

Davon berechnet man nun die Determinante, z.B. über Entwicklungssatz:

1-x*|(2-x)*(2-x)-3*1| = -x^3+5x^2-3x+1
- 1*|1*2-x-3*0| = 2-x
+ 1*|1*1-2-x*0| = 1

=

-x^3+5x^2-4x

Multiplikation mit -1 ergibt das charakteristische Polynom
x^3- 5x^2+ 4x

x^3- 5x^2+ 4x = 0 / x ausklammern

x(x2-5x+4)=0

das kann man in die pq-Formel einsetzen und erhält die Eigenwerte.
 
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Ich nehme an, das bezieht sich darauf, dass Marcel die Lösung mit (–1) multipliziert hat?

Das musst Du in diesem Falle machen, weil die pq-Formel verlangt, dass der Koeffizient vor dem x^2 Eins ist. Wenn Du also z.B. das Polynom 2x^2+4x+8 hättest, müsstest Du es erst durch 2 teilen, bevor Du pq anwenden darfst.
 
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Naja es geht mehr darum, das dies eine Aufgabe aus der EA ist, wo unter anderem nach dem charakteristischem Polynom gefragt wurde

und MarcelB im Lösungsweg erst nach dem *-1 schreibt das es das charakteristische Polynom ergibt
ist es mit dem minuszeichen davor noch kein charakteristisches Polynom?

für das weiterrechnen mit der pq Formel ist mir dieser Schritt klar, aber mir ging es ehern um die Bezeichnung davor
 
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schneevater schrieb:
Wie sähe das eigentlich aus wenn das charakteriste Polynom z.B.

x^3- 5x^2+ 4x +5 = 0 lauten würde, dazu finde ich grade keine Beispielhafte Lösung irgendwo zu

bei diesem Term kann ich ja nicht einfach x ausklammern. Wie wäre hierbei das vorgehen ?
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schau mal unter Polynomdivision oder Horner Schema, damit kann man das x³ "kleinkriegen" um dann mit der pq Formel weiterzurechnen
 
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kridbonn schrieb:
@netere: Ach so, jetzt verstehe ich. Das charakteristische Polynom ist normiert. D.h. der erste Koeffizient ist grundsätzlich Eins, die negative Lösung wäre also falsch.
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Hallo Dirk,

deckt sich nicht mit meiner Erinnerung aus der ment. Betreuung. Danach ist das charakterisctische Polynom das, was man nach Berechnung der Determinante erhält. Um aber dann die nullstellen zu berechen, muß es u.U. umgeformt werden.
Und ich meine mich auch zu erinnern, es genauso in meiner EA damals gemacht zu haben😉

Gruß

Uwe
 
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Also, durch lange genuges Hinsehen hab ich das "Problem" erkannt: im Kurs lautet die Rechenvorschrift für eine Matrix A und die Einheitsmatrix I und x statt Lambda:

det(A–x*I)


Dann bekommt man ein charakteristisches Polynom, dass als ersten Koeffizienten eine (–1) hat (das ist übrigens grundsätzlich so – wenn da was anderes steht, hat man sich verrechnet).

Nun schreibt der Kurs ganz tricky: das charakteristische Polynom ist

(-x)^n+a*(-x)^(n-1)+...


Wegen des (-x) muss man die Koeffizienten also tatsächlich mit (-1) multiplizieren (also müssen alle Vorzeichen einmal wechseln). Dann bekommt man ein normiertes Polynom raus.

Einfacher geht's übrigens andersrum: Ich rechne det(x*I–A), und dabei bekomme ich gleich ein normiertes charakteristisches Polynom, und erspare mir eine Fehlerquelle.
 
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nur nochmal zur Sicherheit anhand des genannten Beispiels

charakteristisches Polynom = -x³+5x²-4x
normiertes charakt. Polynom = x³-5x²+4x


das heist wenn nur nach dem charakt.Polynom gefragt ist nehme ich das ergebnis was nach der Determinantenrechnung rauskommt - egal welches Vorzeichen

richtig?
 
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Und der Koeffizient des ersten x muss auch nicht 1 sein z.B. -2x² + ....

Ich sehe gerade, dass Kridbonn weiter oben geschrieben hat, dass das erste x mit der herkömmlichen Berechnung immer -1 ist. Also ist deine Aussage richtig und mein Kommentar dann wohl eher nicht...
 
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kridbonn schrieb:
Dann bekommt man ein charakteristisches Polynom, dass als ersten Koeffizienten eine (–1) hat (das ist übrigens grundsätzlich so – wenn da was anderes steht, hat man sich verrechnet).
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Hier muss ich jetzt einmal zurückrudern – das ist nur so, wenn die Matrix eine ungerade Anzahl Zeilen/Spalten hat. Bei Matrizen mit geraden Zeilenanzahl bekommt ihr ein Polynom raus, dass eine +1 als ersten Koeffizienten hat (siehe das Beispiel im Kurs mit der 2x2-Matrix).

@pple schrieb:
Und der Koeffizient des ersten x muss auch nicht 1 sein z.B. -2x² + ....

Ich sehe gerade, dass Kridbonn weiter oben geschrieben hat, dass das erste x mit der herkömmlichen Berechnung immer -1 ist. Also ist deine Aussage richtig und mein Kommentar dann wohl eher nicht...
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Nein, er ist auf jeden Fall 1 oder -1.


netere schrieb:
😕

nur nochmal zur Sicherheit anhand des genannten Beispiels

charakteristisches Polynom = -x³+5x²-4x
normiertes charakt. Polynom = x³-5x²+4x


das heist wenn nur nach dem charakt.Polynom gefragt ist nehme ich das ergebnis was nach der Determinantenrechnung rauskommt - egal welches Vorzeichen

richtig?
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Das Problem liegt an der Rechenvorschrift, die der Kurs gibt. Die macht es zwar unter Umständen leichter, die Determinante auszurechnen (weil man weniger negative Zahlen hat). Mathematisch ist das charakteristische Polynom aber eindeutig (es gibt also nicht zwei CPe einer Matrix), und es ist normiert, d.h. strenggenommen ist ein CP eines, wo eine (+1) als erster Koeffizient steht.

Für die Berchnung der Nullstelle(n) ist das am Ende eh wurscht, denn

(+1)*x^2=0

ist dasselbe wie

(-1)*x^2 =0.

Achja. @MarcelB: Es wäre einfacher gewesen, die Laplace-Entwicklung entlang der 1. Spalte zu machen, wegen der Null hast Du dann einen Summanden weniger zu handhaben.
 
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